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EIN UNGEWÖHNLICHER WEG


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Spektrum der Wissenschaft - epaper ⋅ Ausgabe 12/2022 vom 12.11.2022
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Bildquelle: Spektrum der Wissenschaft, Ausgabe 12/2022

PUNKTE UND STRICHE In der Graphentheorie geht es um Netzwerke: eine Menge von Punkten, die durch Kanten miteinander verbunden sind. June Huh hat Erstaunliches über diese Gebilde herausgefunden.

Jordana Cepelewiczist Wissenschaftsjournalistin in New York.

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AUF EINEN BLICK GEOMETRIE OHNE RAUM

1 Anders a ls viele seiner Kollegen entdeckte June Huh seine Faszination für Mathematik recht spät: Eine zufällige Begegnung am Ende seines Physikstudiums motivierte ihn dazu, das Fach zu wechseln.

2 Trotz s eines holprigen Einstiegs machte er schnell erstaunliche Entdeckungen: Unter anderem fand er geometrische Zusammenhänge in Bereichen, die gar keinen geometrischen Raum zulassen.

3 Seine E rkenntnisse im Gebiet der Kombinatorik haben ihm 2022 die Fields-Medaille eingebracht, eine der höchsten Ehrungen der Mathematik.

? Jeden Nachmittag macht June Huh einen langen Spaziergang durch die Princeton University. An diesem Tag Mitte Mai 2022 bahnt er sich seinen Weg durch die Wälder rund um das nahe gelegene Institute for Advanced Study. »Nur damit Sie es wissen«, sagt er, während er an einer Weggabelung ...

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... stehen bleibt, »ich habe keine Ahnung, wo wir sind.« Wir setzen unseren Ausflug dennoch fort. Immer wieder hält er inne, um auf Tiere hinzuweisen, die sich unter Blättern oder hinter Bäumen verstecken. In den nächsten zwei Stunden sichtet Huh ein Froschpaar, einen Rotkappen-Waldsänger, eine Schildkröte von der Größe eines Fingerhuts und einen Fuchs. Sie alle beobachtet er aufmerksam. »Ich bin gut darin, Dinge zu finden«, erklärt er.

Damit trifft er den Nagel auf den Kopf. Denn für seine Fähigkeit, verschiedene Gebiete der Mathematik zu erkunden und dabei genau die richtigen Objekte auszumachen, wurde der 39-Jährige im Sommer 2022 mit der Fields-Medaille geehrt, einer der höchsten Auszeichnungen des Fachs. Die von ihm identifizierten Strukturen bringen die zwei Bereiche der Geometrie und Kombinatorik auf völlig neue Weise zusammen. Seit seinem Studium hat Huh mehrere bedeutende Probleme gelöst, wobei er jedes Mal unerwartete Pfade in der abstrakten Disziplin einschlug.

Auch sein Werdegang zeichnet sich durch viele Umwege – und einige Zufälle – aus. Denn Huh hatte niemals vorgehabt, Mathematiker zu werden. Das Fach war ihm egal. In der Mittelstufe wollte er sogar die Schule abbrechen, um als Dichter seinen Lebensunterhalt zu verdienen. Erst eine Begegnung gegen Ende seiner Studienzeit ließ ihn erkennen, dass Mathematik das enthält, wonach er die ganze Zeit gesucht hatte.

Die mangelnde Geradlinigkeit hat sich inzwischen als prägend für Huhs Arbeit herausgestellt. Seinen Kollegen zufolge sucht er in allem, was er tut, nach einer tieferen Bedeutung. »Er macht schöne Dinge. Als ich herausfand, dass er sich früher mit Poesie beschäftigt hat, ergab das für mich Sinn«, so der Mathematiker Federico Ardila-Mantilla von der San Francisco State University.

Im Frühjahr 2019 verbrachte er mehrere Monate einfach nur damit, Bücher zu lesen

Und nicht nur das unterscheidet ihn von vielen seiner Kollegen. An einem gewöhnlichen Tag arbeitet Huh etwa drei Stunden lang konzentriert. Vielleicht denkt er über ein Matheproblem nach, bereitet sich auf eine Vorlesung vor oder plant Arzttermine für seine beiden Söhne. »Danach bin ich erschöpft«, sagt er. »Etwas Wertvolles, Sinnvolles, Kreatives zu tun« – oder eine Aufgabe, die er nicht unbedingt machen will, wie Terminplanung – koste ihn viel Energie. Üblicherweise kann er nicht kontrollieren, worauf er sich in seinem dreistündigen Zeitfenster konzentriert. Im Frühjahr 2019 hat er beispielsweise mehrere Monate nur damit verbracht, Bücher zu lesen.

Er verspürte den Drang, die Werke, die er aus seiner Jugend kannte (darunter die »Selbstbetrachtungen« des römischen Kaisers Mark Aurel sowie einige Romane von Hermann Hesse) wieder aufzugreifen – und so tat er es. »Ich habe in der Zeit nicht gearbeitet«, sagt Huh. »Das ist ein echtes Problem.« Inzwischen hat er sich mit seiner Eigenart abgefunden. »Früher habe ich versucht, dagegen anzukämpfen. Aber dann habe ich gelernt, den Versuchungen nachzugeben.« Er konnte sich noch nie zu etwas zwingen oder ein klar abgestecktes Ziel verfolgen – selbst bei Dingen, die ihm Spaß bereiten. Besonders schwierig sei es für ihn, seine Aufmerksamkeit von einer Sache zu einer anderen zu lenken. »Ich glaube, Absicht und Willenskraft werden stark überbewertet«, sagt er.

Das war schon in seiner Jugend so. Huh wurde 1983 in Kalifornien geboren, wo seine Eltern gerade ihr Studium abschlossen. Als Huh ein Jahr alt war, zog die Familie zurück nach Südkorea, dort unterrichtete sein Vater Statistik, seine Mutter lehrte Russisch und Literatur. Die Schule bereitete Huh keinerlei Spaß. Er liebte es zwar, zu lernen, konnte sich im Klassenraum aber nicht konzentrieren. Stattdessen zog er es vor, auf eigene Faust zu lesen. In der Grundschule verschlang er beispielsweise alle zehn Bände einer Enzyklopädie über Lebewesen. Einen weiteren Zeitvertreib bot ein Berg in der Nähe seines Wohnorts, den er gern erkundete.

Nach einem schlechten Mathetest lehnte Huh es ab, sich mit dem Fach zu beschäftigen. Als das seinem matheaffinen Vater auffiel, versuchte er, seinen Sohn mit einem Übungsbuch zu unterrichten. Aber statt die Rechenaufgaben zu lösen, schrieb June Huh bloß die Lösungen von der Rückseite des Werks ab. Als sein Vater das bemerkte und die Seiten herausriss, ging Huh in eine örtliche Buchhandlung und kopierte die Antworten von dort. »An diesem Punkt hat er aufgegeben«, erinnert sich Huh.

Als er 16 Jahre alt war, wollte er sich voll und ganz seinen Gedichten widmen. Er schrieb über die Natur und seine eigenen Erfahrungen. Er plante, sein Meisterwerk zu vollenden, bevor er zur Universität gehen musste. »Daraus ist nichts geworden«, sagt er lachend. Später erkannte er auch, warum: Er wollte jemand sein, der große Gedichte verfasst, aber er hatte keinen Spaß daran, sie tatsächlich zu schreiben.

Als Huh 2002 an die Nationale Universität von Seoul kam, fühlte er sich abgehängt. Er liebäugelte kurz mit dem Gedanken, Wissenschaftsjournalist zu werden, und entschied sich, Astronomie und Physik als Hauptfächer zu belegen. Häufig schwänzte er den Unterricht und musste deshalb mehrere Kurse wiederholen. »Ich war verloren«, sagt er. »Ich wusste nicht, was ich machen wollte. Ich wusste nicht, worin ich gut war.« Wie sich später herausstellte, liegt sein Talent in der Mathematik – doch das fand er nur zufällig heraus.

Es dauerte sechs Jahre, bis Huh seinen Abschluss machte. In seinem letzten Jahr besuchte er einen Kurs bei dem berühmten japanischen Mathematiker Heisuke Hironaka, der damals eine Gastprofessur an der südkoreanischen Universität antrat. Der Mittsiebziger war in der Fachwelt äußerst renommiert, unter anderem hatte er 1970 die Fields-Medaille erhalten. Hironaka war charismatisch, und Huh geriet schnell in seinen Bann.

Mathematische Forschung in Echtzeit

Aber es war nicht nur der Charme des Professors, der Huh sofort faszinierte, es war ebenso die Mathematik selbst. Der Kurs sollte eigentlich in die algebraische Geometrie einführen, die sich mit Lösungen bestimmter Gleichungen und ihren geometrischen Eigenschaften beschäftigt. Stattdessen sprach Hironaka über seine eigene Forschung auf einem Teil dieses Gebiets, der so genannten Singularitätstheorie. »Im Grunde hielt er einen Vortrag über das, worüber er am Tag zuvor nachdachte«, sagt Huh. Er stellte ausgewählte Probleme und Beweise vor, die nicht immer korrekt waren. Der Kurs mit anfangs 200 Teilnehmern schrumpfte schnell; einige Wochen später waren nur noch fünf Studenten übrig, darunter Huh.

Zum ersten Mal erlebte er, wie mathematische Forschung in Echtzeit ablief. Hironakas Vorlesungen waren nicht so ausgefeilt wie andere Veranstaltungen, wo alles stromlinienförmig war und die Antworten bereits feststanden. Huh liebte die Spannung, den Versuch, etwas zu tun, von dem niemand wirklich wusste, wie es geht – und die Freiheit, die mit dem Nichtwissen einherging, die Überraschungen, die möglich wurden. Der Student entdeckte, dass diese Art von Mathematik ihm das geben konnte, was die Poesie nie vermochte: die Fähigkeit, nach Schönheit in der Welt um ihn herum zu suchen. Im Gegensatz zu seiner Zeit als Möchtegerndichter motivierte ihn nun nicht mehr der Wunsch nach Anerkennung. Er wollte einfach nur Mathe machen.

Farben zählen

Als Doktorand hat der Mathematiker June Huh bewiesen, dass chromatische Polynome, die mit Graphen zusammenhängen, bestimmte Eigenschaften erfüllen.

Chromatische Polynome

Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Graphen so einzufärben, dass verbundene Punkte unterschiedlich koloriert sind? Das chromatische Polynom liefert die Antwort in Abhängigkeit der Anzahlnder Farben.

Hironaka, der das vielleicht erkannte, nahm Huh unter seine Fittiche. In den Semesterferien folgte Huh dem Professor nach Japan, wohnte mit ihm in Tokio und Kyoto, trug seine Tasche, teilte die Mahlzeiten mit ihm und diskutierte über Mathematik. Hironaka empfahl seinem Schützling, sich für eine Promotion in den USA zu bewerben. Huh schrieb etwa ein Dutzend Universitäten an, doch wegen seiner mittelmäßigen akademischen Ergebnisse wurde er von allen bis auf eine abgelehnt. 2009 begann er seine Doktorarbeit an der University of Illinois in Urbana-Champaign.

Trotz der vielen Herausforderungen – das Leben in einem neuen Land sowie die Trennung von seiner Partnerin Kim, die in Seoul blieb, um dort ebenfalls in Mathematik zu promovieren – schätzte Huh seine Erfahrungen an der Graduiertenschule in der Ferne. Denn so konnte er sich ganz dem Fach widmen, und er genoss die Freiheit der Forschung, die ihn von Anfang an angezogen hatte.

Während seiner Promotion stach er schnell heraus: Er bewies eine Hypothese der Graphentheorie, die Mathematiker seit vier Jahrzehnten beschäftigt hatte. Das als »Read-Vermutung« bekannte Problem hat mit Polynomen (Gleichungen wien4+ 5n3 + 6n2 + 3n + 1) zu tun, die mit Netzwerken zusammenhängen. Angenommen, Sie möchten die Knoten eines Graphen so kolorieren, dass keine zwei benachbarten Punkte gleichfarbig sind. Wenn man eine bestimmte Anzahl von Farben zur Verfügung hat, gibt es viele Möglichkeiten, das Netzwerk bunt zu gestalten. Die Gesamtzahl lässt sich mit einer Gleichung berechnen, die als chromatisches Polynom bezeichnet wird.

Dabei gehorchen die Koeffizienten (jene Zahlen, die vor den Variablen im Polynom stehen) unabhängig vom Graphen immer bestimmten Mustern. Sie sind stets unimodal, das heißt, die Zahlenwerte steigen erst an und fallen dann wieder ab. Das kann man am vorigen Beispieln4+ 5n3 + 6n2 + 3n + 1 erkennen: Die Beträge der Koeffizienten (1, 5, 6, 3, 1) bilden eine unimodale Folge. Außerdem sind die Werte »logarithmisch konkav«: Für drei beliebige aufeinander folgende Zahlen ist das Quadrat der mittleren mindestens so groß wie das Produkt der seitlichen Werte. Im obigen Polynom gilt etwa für die Folge 5, 6, 3 folgendes: 62 ≥ 5?3.

Ein Unbekannter liefert eine unerwartete Lösung

Obwohl alle untersuchten chromatischen Polynome diese zwei Eigenschaften besitzen, hatten Mathematiker große Mühe, zu beweisen, dass es sich um eine allgemein gültige Regel handelt. Doch dann, scheinbar aus dem Nichts, tauchte Huh auf und löste das Problem – ganz nebenbei.

Als Masterstudent hatte Huh die in der algebraischen Geometrie wichtigsten Studienobjekte kennen gelernt: algebraische Varietäten. Das sind geometrische Formen, die durch bestimmte Gleichungen definiert sind. Interessanterweise hängen einige der Varietäten mit Zahlenfolgen zusammen, die bekanntermaßen logarithmisch konkav sind. Das alles wusste Huh nur, weil er den Vorlesungen von Hironaka aufmerksam gelauscht hatte. Der damalige Doktorand kam schließlich auf die Idee, eine algebraische Varietät zu konstruieren, deren zugehörige Folge den Koeffi- zienten eines chromatischen Polynoms entspricht, das wiederum mit bestimmten Graphen zusammenhängt. So konnte er beweisen, dass chromatische Polynome immer logarithmisch konkav und unimodal sind.

Seine Lösung verblüffte die mathematische Fachwelt. Die renommierte University of Michigan, die ursprünglich Huhs Bewerbung abgelehnt hatte, überredete ihn, bei ihr fertig zu promovieren. Seine Leistung war nicht nur deshalb beeindruckend, weil er die jahrzehntealte Vermutung von Read gelöst hatte. Er hatte gezeigt, dass sich hinter den kombinatorischen Eigenschaften von Netzwerken etwas viel Tieferes – und Geometrisches – verbarg.

Zudem waren seine Kollegen von seinem Auftreten beeindruckt. Seine Vorträge auf Konferenzen waren zugänglich und konkret; im Gespräch dachte er sowohl tiefgründig als auch breit gefächert über die Konzepte, mit denen er arbeitete, nach. »Er war unglaublich reif für einen Doktoranden«, erinnert sich der Mathematiker Matthew Baker vom Georgia Institute of Technology. Laut Mircea Musta??, Huhs Doktorvater an der University of Michigan, brauchte er fast keine Betreuung. Im Gegensatz zu den meisten anderen Kommilitonen hatte er bereits ein festes Programm im Kopf und sogar Ideen, wie er es verfolgen wollte. »Er war mehr wie ein Kollege«, sagt Musta??. Nach diesem ersten Durchbruch ließ der nächste Erfolg nicht lange auf sich warten. Denn Graphen sind ein Spezialfall allgemeinerer Strukturen, so genannter Matroide. Netzwerke stellen dar, wie Daten (Knoten) zusammenhängen – ganz ähnlich ist es mit Matroiden. Dazu kann man sich Punkte in einer zweidimensionalen Ebene vorstellen. Wenn drei oder mehr von ihnen auf einer Geraden liegen, dann sind sie »linear abhängig«. Matroide erfassen Begriffe wie Abhängigkeit und Unabhängigkeit in allen möglichen Kontexten – von Graphen über Vektorräume bis hin zu algebraischen Körpern.

So wie man Netzwerken chromatische Polynome zuordnen kann, gibt es »charakteristische« Polynome, die mit Matroiden verbunden sind. Es wurde vermutet, dass deren Koeffizienten ebenfalls logarithmisch konkav sind. Allerdings lassen sich die Techniken, die Huh zum Nachweis von Reads Vermutung verwendet hatte, nur auf eine sehr kleine Klasse von Matroiden anwenden.

Gemeinsam mit dem Mathematiker Eric Katz von der Ohio State University gelang es Huh, diese Klasse zu erweitern. Die Forscher folgten dabei einer Art Rezept. Wie in Huhs erster Arbeit bestand die Strategie darin, eine algebraische Varietät aus dem Matroid zu konstruieren. Dann mussten sie jedoch einen Schritt weiter gehen und daraus einen so genannten Kohomologiering bilden. Diese Objekte codieren die wesentlichen Merkmale eines geometrischen Raums, in dem Fall der Varietät. Die Eigenschaften des Kohomologierings ermöglichten es, zu beweisen, dass die zugehörigen charakteristischen Polynome logarithmisch konkav sind.

Es gab nur ein Problem: Die meisten Matroide haben keine geometrische Grundlage. Das heißt, man kann ihnen keine algebraische Varietät zuordnen. Doch Huh und Katz fanden zusammen mit ihrem Kollegen Karim Adiprasito von der Universität Kopenhagen einen Weg, den Schlenker über die Varietäten zu überspringen und den Kohomologiering direkt aus einem Matroiden abzuleiten. Das war äußerst erstaunlich: »Man braucht gar keinen Raum, um Geometrie zu machen«, so Huh. Anschließend zeigten die drei Mathematiker mit einer Reihe neuer Methoden, dass sich der Kohomologiering trotzdem so verhält, als ob er aus einer algebraischen Varietät hervorginge – auch wenn das nicht der Fall ist. Auf diese Weise bewiesen sie, dass alle charakteristischen Polynome von Matroiden logarithmisch konkav sind – und lösten damit das verallgemeinerte Read-Problem, das als Rota-Vermutung bekannt ist.

Was ist ein Matroid?

Matroide sind Strukturen, die das abstrakte Konzept von Abhängigkeit und Unabhängigkeit darstellen. Das spielt in vielen Bereichen eine wichtige Rolle, etwa für Graphen und Punktmengen.

Die Dowling-Wilson-Vermutung

Die Dowling-Wilson-Vermutung handelt von den Eigenschaften willkürlich im Raum verteilter Punkte.

Trotz all der Präzision, die die Arbeit erfordert, ist die Konstruktion eines geeigneten Kohomologierings mit viel Rätselraten verbunden. Das war ein Aspekt, der Huh besonders gefiel. »Es gibt keinen Leitsatz, kein klar definiertes Ziel«, sagt er. »Die Arbeit hat mich dazu veranlasst, das Konzept der Geometrie grundlegend zu überdenken.« Das führte ihn zu einer Reihe anderer Aufgaben, bei denen er diese Idee weiter verfolgte. Dadurch konnte er eine noch breitere Palette von Methoden entwickeln, um geometrische Techniken in völlig neuen Zusammenhängen anzuwenden.

Huh spricht langsam, hält oft inne und wählt seine Worte sorgfältig. Er hat eine ruhige, fast meditative Art. Bei seiner Arbeit geht er ebenso bedächtig vor. Sein Kollege Botong Wang von der University of Wisconsin, Madison, war überrascht, als er Huh das erste Mal traf. »Ich habe in Mathematikwettbewerben die Erfahrung gemacht, dass man schnell sein muss«, sagt er. »Aber June ist das Gegenteil davon. Wenn man fünf Minuten lang mit ihm über ein Rechenproblem spricht, könnte man meinen, er würde keine Prüfung bestehen. Er ist sehr langsam.« So langsam, dass Wang zunächst dachte, sie würden zu viel Zeit mit einfachen Problemen verschwenden, die sie bereits verstanden. Zum Beispiel als Graham Denham von der Western University in Ontario zusammen mit Ardila-Mantilla und Huh einen 50-seitigen Beweis für ein Problem fertig gestellt hatte, das eng mit der Rota-Vermutung zusammenhängt. Anstatt ihr Ergebnis direkt zu veröffentlichen, meinte Huh, sie sollten sich mehr Zeit nehmen, um einen besseren Ansatz zu finden. Er war überzeugt, dass es eine schönere Erklärung gäbe und dass man die Dinge nicht überstürzen sollte. Sie brauchten zwei weitere Jahre dafür. »Zum Glück haben wir alle eine Festanstellung«, sagt Ardila-Mantilla. Denham und er sind sich jedoch einig, dass sich der zusätzliche Aufwand gelohnt hat.

Diese Neigung zur Perfektion gilt nicht nur für Huhs mathematische Arbeit. 2013 beschloss er, Kochen zu lernen. Als absoluter Anfänger nahm er sich vor, jeden Tag das gleiche Gericht zuzubereiten (Pasta mit Öl), bis es perfekt war. Sechs Monate lang hat er genau das getan. Laut seiner Frau Kim ist es bis heute das Einzige, das er kochen kann.

Routine und ein Streben nach Perfektion

Huhs ganzes Leben ist auf Routine aufgebaut. »Fast alle meine Tage sind gleich«, sagt er. Er hat Probleme mit dem Einschlafen und wacht in der Regel gegen drei Uhr morgens auf. Dann geht er ins Fitnessstudio, frühstückt mit seiner Frau und seinen beiden Söhnen und bringt seinen Ältesten zur Schule, bevor er in das Büro in Princeton fährt.

Sein Arbeitsplatz ist spärlich bestückt, praktisch leer. Es gibt einen großen Schreibtisch, eine Couch zum Schlafen – Huh macht normalerweise später am Morgen ein Nickerchen – und eine Yogamatte, die ebenfalls zum Hinlegen dient. Keine Bücher, nur ein paar Stapel Papiere, die ordentlich in einem Regal an einer Wand stehen. Jeden Tag macht er nach dem Mittagessen einen langen Spaziergang und kehrt dann in sein Büro zurück, um noch ein wenig zu arbeiten (es sei denn, er hat sein Drei-Stunden-Pensum bereits erfüllt), bevor er nach Hause geht. Den Rest des Abends verbringt er mit seiner Familie.

Alles, was von dieser Routine abweicht, ist für Huh sehr anstrengend. Als er während seiner Doktorarbeit nach Michigan zog, konnte er sich kaum etwas anderem als der Mathematik widmen. Allerdings war er für den kalten Winter im Norden der USA nicht gerüstet – er hatte nur wenige Habseligkeiten und brauchte eine dickere Decke. Eine Fahrt zu einem großen Einkaufszentrum zu planen, kam ihm jedoch extrem kompliziert vor. »Das überstieg einfach meine Grenzen«, erinnert er sich. »Ich wollte meine Energie nicht darauf verschwenden, herauszufinden, wie ich von hier nach dort komme.« Stattdessen ging er zu einer nahe gelegenen Drogerie, kaufte zehn kleine Quadrate aus Stoff und tackerte sie zu einer Decke zusammen.

In seiner Arbeit machen sich die wiederkehrenden Abläufe bezahlt. Immer wieder kommt er auf Fragen über logarithmische Konkavität oder ähnliche Konzepte zurück. So konnte er mit Wang im Jahr 2017 die so genannte Dowling-Wilson-Vermutung beweisen. Dabei geht es um willkürlich verteilte Punkte, wobei jedes Punktepaar durch eine Linie verbunden ist. Wenn etwa vier Punkte in der Ebene liegen, kann man sie durch sechs Striche paarweise verbinden. Die Mathematiker Paul Erd?s und Nicolaas Govert de Bruijn haben bereits 1948 gezeigt, dass es immer mindestens genauso viele Linien wie Punkte gibt (es sei denn, alle Punkte liegen auf einer Geraden).

Die Dowling-Wilson-Vermutung verallgemeinert diese Idee. Doch statt um Punkte in einer Ebene geht es um Punkte in einem hochdimensionalen Raum. Außerdem beschränkt man sich nicht nur auf die Anzahl aller Linien, die Punktepaare verbinden, sondern betrachtet auch die Ebenen, die von drei Punkten aufgespannt werden, ebenso wie die dreidimensionalen Unterräume, die sich aus vier Punkten ergeben, und so weiter. Man kann die so entstehende Zahlenfolge untersuchen: Anzahl der Punkte, der Linien, der Ebenen und der jeweiligen Unterräume. Dabei lässt sich eine gewisse Symmetrie zwischen dem ersten und dem letzten, dem zweiten und dem vorletzten Wert und so weiter erkennen. Wie sich herausstellt, ist in diesen Paaren die zum jeweils höherdimensionalen Raum gehörende Zahl mindestens genauso groß wie jene, die dem niedrigerdimensionalen Konstrukt entspricht. Huh und Wang konnten zeigen, dass die Folge tatsächlich unimodal ist. Nun bleibt noch herauszufinden, ob sie zudem logarithmisch konkav ist.

Für ihren Beweis haben die zwei Mathematiker Methoden genutzt, die Huh während seiner Arbeit an der Rota-Vermutung entwickelt hatte. Wieder beschäftigten sie sich mit Matroiden, algebraischen Varietäten und Kohomologieringen. Doch in diesem Fall arbeiteten sie mit einer ganz speziellen Art von geometrischen Räumen, die so genannte Singularitäten enthalten. Das sind isolierte Punkte, die den Eigenschaften der übrigen Struktur widersprechen: zum Beispiel, wenn eine glatte Kurve einen Knick hat. Solche Singularitäten erschweren die Arbeit ungemein. So wird es etwa kompliziert, bestimmte Merkmale ihrer Kohomologieringe zu beweisen.

Während der fünf Jahre, in denen sich die beiden Forscher mit der Aufgabe beschäftigten, suchte Huh nach einer Möglichkeit, endgültig mit der Geometrie zu brechen. Ein großer Teil seiner bisherigen Arbeit bestand darin, die passende Kohomologie zu konstruieren, die ein bestimmtes Problem erforderte. War das gelungen, musste man allerdings noch beweisen, dass die Kohomologie gewisse Eigenschaften erfüllt – was ebenfalls mehrere Jahre dauern kann. 2020 hat Huh zusammen mit seinem Kollegen Petter Brändén von der Königlichen Technischen Hochschule in Stockholm eine neue Theorie entwickelt, um diese langwierige Prozedur zu umgehen. Mit ihrem Ansatz konnten sie zudem die »starke Mason-Vermutung« lösen, die von der Anzahl unabhängiger Mengen in Matroiden handelt.

Andere Mathematiker haben das Ergebnis inzwischen verwendet, um die Rota-Vermutung auf einfachere Weise zu beweisen. Zudem öffnen die Techniken die Tür zu völlig neuen Problemen – und könnten erklären, warum all die untersuchten Systeme mit logarithmisch konkaven Folgen zusammenhängen.

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QUELLEN

Ardila, F. et al.:Lagrangian geometry of matroids. ArXiv 2004.13116, 2020

Braden, T. et al.:Singular Hodge theory for combinatorial geometries. ArXiv 2010.06088, 2020

Brändén, P., Huh, J.:Lorentzian polynomials. Annals of Mathematics 192, 2020

Huh, J., Wang, B.:Enumeration of points, lines, planes, etc. Acta Mathematica 218, 2017

Huh, J., Katz, E.:Log-concavity of characteristic polynomials and the Bergman fan of matroids. Mathematische Annalen 354, 2012

Huh, J.:Milnor numbers of projective hypersurfaces and the chromatic polynomial of graphs. Journal of the American Mathematical Society 25, 2012

Von »Spektrum der Wissenschaft« übersetzte und bearbeitete Fassung des Artikels »He Dropped Out to Become a Poet. Now He’s Won a Fields Medal« aus »Quanta Magazine«, einem inhaltlich unabhängigen Magazin der Simons Foundation, die sich die Verbreitung von Forschungsergebnissen aus Mathematik und den Naturwissenschaften zum Ziel gesetzt hat.