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MATHEMATIK DER RIEMANNSCHEN VERMUTUNG AUF DIE PELLE GERÜCKT


Spektrum der Wissenschaft - epaper ⋅ Ausgabe 11/2019 vom 19.10.2019

Ein längst aufgegebener Ansatz ermöglicht einen neuen Blick auf eines der größten Rätsel der Mathematik. Ob die 160 Jahre alte riemannsche Vermutung dadurch wirklich bewiesen werden könnte, ist allerdings noch unklar.


Seit über 160 Jahren zählt die riemannsche Vermutung zu einem der härtesten Probleme der Mathematik. Weltweit versuchen sich immer wieder etliche Personen an einem Beweis, doch bisher sind alle gescheitert. Nun sind vier Wissenschaftler einer Lösung erstaunlich nahegekommen – durch einen 90 Jahre alten Ansatz, den die meisten ihrer Kollegen aufgegeben hatten.

Bereits 1900 nannte David ...

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Bildquelle: Spektrum der Wissenschaft, Ausgabe 11/2019

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... Hilbert in seiner berühmten Jahrhundertrede auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris die riemannsche Vermutung als eine der zehn wichtigsten mathematischen Fragestellungen, denen man sich im 20. Jahrhundert widmen müsse. Er soll Überlieferungen zufolge sogar gesagt haben, dass seine erste Frage nach einem 1000- jährigen Schlaf wäre, ob Riemanns Verdacht endlich bestätigt sei. Von den zehn Problemen sind inzwischen acht zumindest teilweise gelöst. Aber die riemannsche Vermutung erwies sich als hartnäckig, bei ihr gab es bisher kaum Fortschritte.

Die Farben stehen für die Werte der komplexen Zetafunktion, wobei die weißen Punkte ihre Nullstellen kennzeichnen.


JAN HOMANN (COMMONS.WIKIMEDIA.ORG/WIKI/FILE:RIEMANN_ZETA.JPG) / PUBLIC DOMAIN

Inzwischen haben Computer mehrere Milliarden Nullstellen berechnet, und keine wich von der vorhergesagten Form ab. Doch das ist leider kein Beweis dafür, dass die riemannsche Vermutung stimmt. Auch wenn kaum jemand davon ausgeht, könnte ein Wert auftauchen, für den die Zetafunktion verschwindet, der aber nicht die riemannsche Vermutung erfüllt. Etliche Fachleute haben sich an dem Problem die Zähne ausgebissen; ein Beweis ist bisher noch nicht in Sicht. Deshalb entwickelten Mathematiker unterschiedlichste Umwege, um Riemann zu bestätigen – oder unerwarteterweise zu widerlegen. Mittlerweile haben sie hunderte Probleme gefunden, die äquivalent zur riemannschen Vermutung sind. Könnten sie eines davon lösen, wäre der berühmte Verdacht gleichzeitig mitbewiesen.

Eine der ersten äquivalenten Fragestellungen fand der ungarische Mathematiker György Pólya bereits 1927, als er die Arbeiten seines verstorbenen dänischen Kollegen Johan Jensen durchsah. Dieser hatte eine Folge unendlich vieler – in der Zwischenzeit nach ihm benannter – Polynome definiert, also Ausdrücke der Forman xn +an- 1xn- 1 + … +a ₀. Wie Pólya bemerkte, ist die riemannsche Vermutung gleichwertig mit der Aussage, dass die einzigen Nullstellen der Jensen-Polynome reell sind, das heißt, dass die Lösungen niemals die Wurzel aus minus eins enthalten.

Ungewöhnliches Geschenk

Als Mathematiker versuchten, das von Pólya hervorgebrachte Problem zu lösen, landeten sie schnell in einer Sackgasse. Selbst nach mehreren Jahren intensiver Arbeit konnten sie bloß für Jensen-Polynome vom Gradn kleiner gleich drei (das heißt, drei ist der höchste Exponent, der vorkommt) zeigen, dass sie ausschließlich reelle Nullstellen haben. Frustriert ließen Forscher daher von diesem Ansatz ab, der ihnen zu kompliziert und nicht zielführend vorkam, und wandten sich anderen Ideen zu.

Durch Zufall gelangte das Problem aber 90 Jahre später wieder ins Rampenlicht. 2016 fand eine Konferenz anlässlich des 65. Geburtstags von Don Zagier statt, der am Max-Planck- Institut für Mathematik in Bonn arbeitet.

Daran nahm auch Ken Ono von der Emory University in Atlanta teil, der sich eine ganz besondere Überraschung für seinen Kollegen überlegt hatte: Er stellte ihm eine Aufgabe, die viele von Zagiers mathematischen Lieblingsthemen enthielt. Dieser sollte untersuchen, wie sich Polynome, welche die so genannte Euler-Funktion enthalten, in einem bestimmten Grenzwert verhalten. Aus der nach Euler benannten Funktion lässt sich die Anzahl aller Möglichkeiten berechnen, eine Zahl in ihre Summanden aus positiven ganzen Zahlen zu zerlegen; sie spielt eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie. »Mir kam die Aufgabe ziemlich schwer vor, und ich hatte nicht erwartet, dass Don wirklich etwas erreichen würde«, sagte Ono laut einer Mitteilung der Emory University. »Aber ihm machte die Herausforderung Spaß, und tatsächlich hatte er schon bald eine Lösung gefunden.«

Als Ono das Ergebnis sah, ließ ihn das Gefühl nicht los, dass sich daraus eine allgemeinere Aussage basteln ließe. Er setzte sich mit seinem Kollegen und zwei seiner damaligen Doktoranden, Michael Griffin und Larry Rolen, zusammen und untersuchte Grenzwerte von weiteren mathematischen Ausdrücken. Sie erkannten, dass sie damit einen neuen Weg gefunden hatten, um die Eigenschaften komplizierter Polynome zu erforschen. Damit lassen sich auch die wenig beachteten Jensen-Polynome beleuchten, weshalb Ono und seine Kollegen das jahrzehntealte Problem von Pólya wieder aufgriffen.

Und tatsächlich erzielten sie ungeahnte Fortschritte, die sie im Mai 2019 veröffentlichten: Sie konnten beweisen, dass alle Jensen-Polynome bis auf endlich viele ausschließlich reelle Nullstellen besitzen. Dazu führte sie die Erkenntnis, dass unendlich viele Jensen-Polynome in einem bestimmten Grenzwert zu »Hermite-Polynomen « werden. Diese Konstrukte tauchen unter anderem häufig in der Quantenmechanik auf und sind daher bestens untersucht. Ono und seine Kollegen haben gezeigt, dass die dort auftretenden Hermite-Polynome reelle Nullstellen haben, wodurch auch unendlich viele Jensen-Polynome diese Eigenschaft besitzen. Zudem bewiesen die vier Mathematiker, dass Pólyas Vermutung für ausnahmslos alle Jensen-Polynome mit einem Gradn kleiner als neun erfüllt ist.

Was viele Wissenschaftler erstaunt, ist, dass die Autoren in ihrer Arbeit keine neuen mathematischen Konzepte oder Objekte entwickelt haben, sondern nur auf etablierte Methoden zurückgriffen. »Jeder Mathematiker kann unseren Beweis überprüfen, man muss dazu kein Experte für Zahlentheorie sein«, meinte Ono.

Auch wenn die Forscher damit nicht die riemannsche Vermutung bewiesen haben, beleuchten sie das Problem doch aus einem anderen Blickwinkel. »Jeder Fortschritt, der in irgendeiner Weise mit der riemannschen Vermutung zusammenhängt, ist faszinierend«, äußerte sich Dimitar Dimitrov von der Universität Saõ Paulo. Die Ergebnisse von Ono und seinen Kollegen sind aber nicht nur in diesem Zusammenhang interessant. Sie könnten sich auf verschiedene Bereiche über die Zahlentheorie hinaus auswirken und dabei helfen, Polynome besser zu verstehen. 

Manon Bischoff ist theoretische Physikerin und Redakteurin bei »Spektrum der Wissenschaft «. QUELLEN

Griffin, M. et al.: Jensen polynomials for the Riemann zeta function and other sequences. PNAS 116, 2019