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Neubau der Mathematik


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Spektrum der Wissenschaft - epaper ⋅ Ausgabe 1/2023 vom 10.12.2022
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Bildquelle: Spektrum der Wissenschaft, Ausgabe 1/2023

BACKEN NACH REZEPT Möchte man ein Objekt, etwa einen Donut, auf seine Bestandteile hin untersuchen, kann man ein Stück herausschneiden und es genau analysieren. Das ist die herkömmliche Herangehensweise von Topologen. Die verdichtete Mathematik liefert hingegen das Rezept und die benötigten Zutaten, was vieles erleichtert.

AUF EINEN BLICK

Mathematik der Staubwolken

1 Topologische Räume zählen zu den Grundbausteinen der Mathematik: Ohne sie könnte man sich die moderne Analysis, Zahlentheorie und Geometrie kaum vorstellen.

2 Dochz wei junge Forscher, Peter Scholze und Dustin Clausen, sind mit dem Konzept unzufrieden. Denn manchmal führen die abstrakten Räume zu hartnäckigen Problemen.

3 Daher entwerfen die beiden Wissenschaftler eine andere Art der Mathematik, die auf völlig neuen, staubwolkenartigen Objekten fußt – und ernten dafür Anerkennung.

? Das ist falsch«, durchdringt es die Stille. Der Kreidestaub tanzt in den Lichtstrahlen, die sich ihren Weg durch die imposanten Buntglasfenster bahnen. In dem mit dunklen Holzvertäfelungen gesäumten Hörsaal in Bonn blicken etwa ein Dutzend Studierende auf und starren an die Leinwand. Quietschend kritzelt der Vortragende dort kryptische Zeichen an eine Tafel – und stockt. Im ...

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... knapp 800 Kilometer entfernten Kopenhagen kratzt er sich am Kopf und fährt mit seinem Finger das zuletzt Geschriebene entlang.

»Eigentlich hatte ich mir dazu etwas überlegt …« Wieder hält er inne. Man könnte regelrecht eine Stecknadel fallen hören. In der ersten Reihe sitzt der Störenfried, er ist dem Vortragenden zum Verwechseln ähnlich: Mitte 30, lange, dunkle Haare, große Statur, schlanke Figur. Beide heben sich kaum von den anwesenden Studierenden ab. Und doch sind sie die Professoren – und zudem keine Unbekannten: Dustin Clausen hält die Vorlesung in der Universität Kopenhagen, während Peter Scholze ihm mit den anderen Zuhörern in Bonn aufmerksam lauscht.

»So stimmt es nicht«, sagt Scholze und lehnt sich zurück. Dann platzt es aus ihm heraus, welche Einschränkungen nötig sind, damit Clausens Aussage korrekt wird. Dieser nickt: »Ich muss kurz darüber nachdenken.« Wieder ein paar Momente Stille. »Okay, ich bringe es später in Ordnung«, schließt er und setzt den Vortrag fort: Definition, Satz, Beweis.

Wer erwartet hat, in der Mathematikvorlesung Zahlen anzutreffen, wird enttäuscht. Über 90 Minuten stellt Clausen grundlegende Konzepte aus der komplexen Analysis vor – ein Thema, das fester Bestandteil des Bachelorstudiums der Mathematik ist. Die Studierenden wirken allerdings nicht, als hätten sie ihr Studium gerade erst begonnen. Im Gegenteil, viele von ihnen promovieren schon oder sind Postdocs. Tatsächlich verfolgen online auch Professoren den Vortrag.

Die Forscher entwickeln die Konzepte oft erst, kurz bevor sie diese präsentieren

Der Grund für ihr Interesse: Die Dozenten, Scholze und Clausen, krempeln gerade große Teile der Mathematik um. In der hybriden Vorlesung, die abwechselnd von Scholze in Bonn und Clausen in Kopenhagen gehalten wird, wenden die Forscher ihre Konzepte auf die komplexe Analysis an – und zeigen, wie man mit den neuen Grundbausteinen etablierte Ergebnisse reproduzieren kann.

»Es ist faszinierend, dem Fortschritt zu folgen«, so der Mathematiker Peter Woit in seinem Blog. Die Fachwelt ist mehr als gespannt, was die zwei Wissenschaftler hervorbringen werden. Sie gelten als Hoffnungsträger des abstrakten Fachs.

Trotz ihrer ähnlichen äußeren Erscheinung scheinen die beiden Charaktere recht unterschiedlich. Clausen wirkt extrovertiert und ist zu Scherzen aufgelegt. Bei Konferenzen schätzen die Teilnehmerinnen und Teilnehmer seine oftmals unterhaltsamen Präsentationen, wie die Mathematikerin Mura Yakerson von der ETH Zürich in ihrem Podcast »Math-Life-Balance« erzählt. Clausen ist nicht der Einzige in seiner Familie, der über großes mathematisches Talent verfügt, sein Großvater John Tate (1925– 2019) war der Fachwelt ebenfalls bekannt. Dieser erhielt unter anderem den Abelpreis, eine Art Nobelpreis des Fachs.

Dass sein Opa mehr als nur »irgendein« Wissenschaftler war, wurde Clausen erstmals bewusst, als er als Schüler an einem Mathematik-Sommercamp der Boston University teilnahm. Einer der Organisatoren, ein sonst selbstsicherer Professor, wurde plötzlich sichtlich nervös, als John Tate seinen Enkel dort besuchte und den Vorträgen lauschte.

Ungewollt im Rampenlicht

Der eher schüchtern erscheinende Scholze zählt hingegen zu den wenigen Mathematikern, die auch außerhalb der Fachwelt bekannt sind. In den letzten Jahren stand er dank seiner herausragenden Leistungen vermehrt im Rampenlicht, so berichteten etwa »Der Spiegel« und »Bild« über ihn. Die große Bühne behagt ihm allerdings nicht allzu sehr: Trotz vielfältiger Anfragen lehnte er TV-Auftritte bisher beharrlich ab.

Während der Vorlesung ist von dieser Scheu nichts mehr zu merken. Scholze zögert nicht, seinem Kollegen Nachfragen zu stellen oder auf Unstimmigkeiten hinzuweisen. Zwischen beiden entwickelt sich dann eine kurze Diskussion, der die Anwesenden stumm – fast schon ehrfürchtig – lauschen. Anders, als man es von den meisten Veranstaltungen an der Universität gewohnt ist, gibt es hier kein vorgefertigtes Skript, an dem sich die zwei Dozenten entlanghangeln. Tatsächlich entwickeln sie manche Konzepte erst, kurz bevor sie diese präsentieren. »Ich hatte keine Ahnung, worüber Dustin heute sprechen würde«, erzählt Scholze nach der Vorlesung.

Die Idee für die hybride Veranstaltung entstand, weil beide eine Einführung in die komplexe Analysis auf Basis ihrer neuen Theorie geben wollten. Deshalb beschlossen sie kurzerhand, es zusammen zu machen – »spätestens seit der Corona-Pandemie ist es nicht mehr ungewöhnlich, Vorlesungen digital abzuhalten«, so Scholze. Und für die Studierenden sei es abwechslungsreich, zwei verschiedenen Personen bei der Entwicklung ihrer Gedanken zu folgen.

Die komplexe Analysis ist nicht das einzige Gebiet, das den neuen Konzepten von Scholze und Clausen zum Opfer fällt. Tatsächlich wirken sich ihre Ansätze auf die Geometrie, die Zahlentheorie und die Funktionalanalysis – und wahrscheinlich noch weitaus mehr Bereiche – aus. Erst kürzlich teilte ein japanischer Kollege Scholze mit, dass er auf dem Gebiet der dynamischen Systeme (das der Physik nahesteht und etwa Planetenbahnen beschreibt) auf ähnliche Strukturen wie jene gestoßen sei, die Clausen und Scholze eingeführt haben.

Der große Satz von Fermat

Auf den ersten Blick sieht das Problem recht einfach aus: Es dreht sich um die Frage, ob die Gleichung x n+ yn= znganzzahlige, positive Lösungen x, y und z besitzt.

Für n = 1 ist sie immer erfüllt: Egal, wie man die Werte für x und y wählt, z wird stets ein positives, ganzzahliges Ergebnis sein, zum Beispiel: 3 + 6 = 9. Bei n = 2 wird es schon etwas kniffliger, denn die Gleichung ist dann quadratisch: x 2+ y2= z2. Wenn x und y ganzzahlige Werte haben, muss das nicht notwendigerweise für z gelten, etwa ergibt für x = 1 und y= 2 die Formel 1 2+ 2 2= 5 – und 5 ist keine Quadratzahl. Das heißt, es gibt zwar eine Lösung für z(die Wurzel aus 5), die ist aber nicht ganzzahlig. Dennoch findet man Ausnahmen, für welche die quadratische Gleichung doch ein passendes Ergebnis hat, zum Beispiel: 4 2+ 3 2= 25 = 5 2.

Das lässt sich geometrisch interpretieren, ganz im Sinne von Pythagoras, dessen berühmte Formel Schülerinnen und Schülern in der Mittelstufe begegnet: Wenn x 2+ y2= z2ganzzahlige Lösungen x, y und z besitzen, dann gibt es rechtwinklige Dreiecke, deren Seitenlängen x, y und z ebenfalls ganzzahlige Werte haben. Und wie sich herausstellt, gibt es davon unendlich viele.

Sobald man die Gleichung aber für n = 3 betrachtet, kann man für x 3+ y3= z3erstaunlicherweise keine einzige ganzzahlige Lösung mehr finden. Das bedeutet, ein Würfel mit ganzzahligen Seitenlängen z lässt sich nicht in zwei weitere Würfel aufteilen, die ebenfalls ganzzahlige Seitenlängen (x und y) besitzen. Gleiches gilt für alle weiteren Werte von n.

Der französische Gelehrte Pierre de Fermat (1607– 1665) erkannte das schon früh – und behauptete in einer Randnotiz, das auch belegen zu können. In einem Buch des antiken Wissenschaftlers Diophantos von Alexandria notierte er auf Latein: »Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis entdeckt, doch ist dieser Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.« Es war nicht das erste Mal, dass Fermat das tat. Tatsächlich hinterließ er zahlreiche ähnliche Hinweise an anderen Stellen. Alle übrigen konnte die Fachwelt nachträglich beweisen.

Davon überzeugt, dass dieser Beweis ebenfalls einfach zu realisieren sei, versuchten sich etliche Mathematikerinnen und Mathematiker, darunter namhafte Größen wie Leonhard Euler oder Ernst Eduard Kummer, daran – und scheiterten. Denn wie in dem abstrakten Fach üblich, lässt sich ein Problem nicht notwendigerweise leicht lösen, nur weil es einfach zu formulieren ist.

Es dauerte mehr als 350 Jahre, bis das Rätsel geknackt wurde. Der Geniestreich gelang Andrew Wiles 1994. Seine Arbeit schlug hohe Wellen: Wiles entwickelte Methoden, die zu weiteren bahnbrechenden Entdeckungen in dem Bereich führten. Dafür wurde er 2016 mit dem Abelpreis geehrt.

Für den Beweis muss man die Algebra, die man aus der Schule kennt, verlassen und in verzweigtere mathematische Gebiete eindringen. Gerhard Frey stellte 1984 die Vermutung auf, dass man aus den Lösungen x, y und z der Gleichung x n+ yn= znfür n > 2 eine seltsame Art von Kurve konstruieren könnte: eine elliptische Kurve, für die es allerdings keine Darstellung als Modulform gebe – so nennt man eine höchst symmetrische Funktion, die im Reich der komplexen Zahlen (mit Wurzeln aus negativen Werten) existiert.

Eine andere Vermutung besagt jedoch, dass sich jede elliptische Kurve als Modulform darstellen lässt. Wenn man also beide Hypothesen beweisen würde, hätte man gleichzeitig gezeigt, dass x n+ yn= znfür n > 2 keine ganzzahligen Lösungen besitzt – und damit Fermats großen Satz bestätigt.

1986 konnte der Mathematiker Ken Ribet den Verdacht von Frey verifizieren. Also blieb nur noch der zweite Teil offen: Man musste zeigen, dass jede elliptische Kurve eine dazugehörige Modulform hat. Wiles gelang es Mitte der 1990er Jahre, auch diese Lücke zu schließen.

Eine Frage bleibt dabei aber offen: Fermat konnte vor mehr als drei Jahrhunderten nichts von den mathematischen Zusammenhängen gewusst haben, die Wiles und Ribet in ihrer Veröffentlichung genutzt haben. Elliptische Kurven und Modulformen waren damals unbekannt. Hatte sich der Gelehrte mit der Randnotiz einen Scherz erlaubt? Oder hatte er nur geglaubt, einen Beweis gefunden zu haben, und sich verrechnet? Es gibt eine dritte Möglichkeit: Eventuell existiert eine wesentlich einfachere Beweismethode, die bisher noch niemand anderem eingefallen ist.

Der Grund, warum die Arbeit der zwei Forscher so weit reichende Auswirkungen hat und von Fachleuten mit enormer Neugier betrachtet wird: Sie ersetzen ein fundamentales mathematisches Objekt durch eine völlig neue Größe.

Beide sind von der Idee überzeugt und halten damit nicht hinter dem Berg. Dennoch treffen sie kaum auf Widerstand – im Gegenteil, die meisten Kollegen scheinen von dem Ansatz sehr angetan. »Ich denke, viele haben während ihrer Arbeit gespürt, dass man etwas Neues braucht«, vermutet Clausen. Zudem hat Scholze einen hervorragenden Ruf. Trotz seines jungen Alters hat er bereits mehrere nützliche Konzepte etabliert, weshalb ihm seine Kolleginnen und Kollegen Vertrauen entgegenbringen. Daher gab es bis jetzt nur wenige Mathematiker, die der neuen Theorie gegenüber Bedenken äußerten. Diese drehten sich um die Frage, inwiefern der Ansatz sich tatsächlich eignet, um spezielle Probleme zu beschreiben. Doch selbst die kritischsten Stimmen versäumen es nicht, ihre Faszination über das zu äußern, was die beiden Forscher erreichen könnten.

Clausen und Scholze vertreten die Meinung, dass topologische Räume, eine der grundlegendsten Strukturen des Fachs, nicht gut genug geeignet sind, um auf ihrer Grundlage Mathematik zu betreiben. Deshalb schlagen sie ein – aus ihrer Sicht – besseres Konzept vor, auf dem sie die abstrakte Disziplin aufbauen wollen. Um zu verstehen, was die zwei Wissenschaftler an topologischen Räumen stört, muss man sich dem zugehörigen Fachgebiet zuwenden, der Topologie.

Für anschauliche Erklärungen des Bereichs zieht man meist Gebäck heran. So sind für Topologen ein Donut und ein Bagel identisch (beide haben ein Loch), unterscheiden sich jedoch von einer Brezel (mit drei Löchern) oder einem Brötchen (kein Loch). Denn in der Topologie geht es darum, Figuren möglichst grob zu sortieren. Man identifiziert die globalen Eigenschaften eines Körpers und ignoriert lästige Details. Ein Teig lässt sich beliebig kneten und verformen – solange man ihn nicht zerreißt oder zusammenklebt, bleibt das ursprüngliche Objekt (für Topologen) unverändert. Geometer haben da mit Sicherheit eine andere Meinung.

0,999... = 1

Schon früh lernen wir, dass sich Zahlen auf verschiedene Arten darstellen lassen. Man startet mit dem Zählen der Finger, zieht dann aber eine etwas formalere Notation heran. Unter anderem gibt es römische, indisch-arabische und die in der westlichen Welt verbreiteten arabischen Ziffern. Zudem lernen wir, rationale Zahlen als Brüche oder als Dezimalzahlen auszudrücken. Schnell stellt man fest, dass die Dezimaldarstellungen einiger Bruchzahlen unendlich lang sind, etwa bei ?. Allerdings sind die nicht endenden Ziffern hinter dem Komma nicht vollkommen willkürlich, sondern fangen ab einem bestimmten Punkt an, sich zu wiederholen, zum Beispiel: x = 0,142857 142857…

Anders verhalten sich hingegen so genannte irrationale Zahlen wie π oder √–2, die unendlich viele Nachkommastellen haben, ohne dass ein periodisches Muster auftritt. Sie lassen sich insbesondere nicht als Bruchzahl ausdrücken. Um sie exakt darzustellen, wählt man daher ein Symbol, denn eine Dezimalschreibweise ist immer nur eine Näherung an den eigentlichen Wert.

Zu den rationalen Zahlen gehören auch Beispiele wie 0,999…; 0,8999…; 0,7999… und so weiter, die mit einer unendlich langen Reihe von Neunen enden. Welchen Brüchen entsprechen sie? Überraschenderweise stimmen sie exakt mit der nächsten Rundung aller Neunen überein.

Eine einfache Erklärung ist folgende: Wenn man ? und die entsprechende Dezimalzahl 0,333… mit drei multipliziert, erhält man die Ergebnisse 1 (? · 3) und 0,999… (0,333...· 3). Daher müssen Eins und 0,999… gleich sein.

Der Sprung zwischen den Notationen führt allerdings zu Skepsis. Doch es gibt eine ganze Reihe weiterer Beweise, die belegen, dass 0,999… exakt eins ist. Einer davon ist folgender: Man schreibt die periodische Zahl in der Dezimalschreibweise bis zur n-tenStelle hinter dem Komma aus: 9 · 1⁄10 + 9 · 1⁄ 100+ 9 · 1⁄1000 + … + 9 · 10 n. Nun lässt sich die 0,9 ausklammern, da sie vor jedem Summanden erscheint. Damit erhält man: 0,9 · (1 + 10 –1+ 10 –2+ … + 10 n–1). Anschließend schreibt man 0,9 als 1 – 10 –1um, damit eine schönere Formel herauskommt, die nur die Zahlen 10 und 1 enthält: (1 – 10 –1) · (1 + 10 –1+ 10 –2+ … + 10 n–1). Für eine solche Art von Gleichung haben Mathematikerinnen und Mathematiker bereits vor mehreren hundert Jahren eine Lösung gefunden, nämlich: 1 – 10 –n.

Wenn man die volle periodische Zahl 0,999… betrachtet, deren Neunen niemals enden, dann wird nunendlich groß. In diesem Fall konvergiert der Term 10 –nzu null. Die Lücke, die zwischen 0,999…9 und 1 geklafft hat, wird in die Unendlichkeit verschoben.

Das ist nur einer von zahlreichen verschiedenen Beweisen, die belegen, dass 0,999… gleich 1 ist – ebenso wie 0,8999… = 0,9; 0,7999… = 0,8 und so weiter. Tatsächlich kann man unendlich viele Beispiele für Zahlen finden, die nicht nur eine Dezimaldarstellung besitzen, sondern zwei.

Ziel der abstrakten Disziplin ist es, geeignete Parameter zu finden, um Figuren voneinander zu unterscheiden. Für zweidimensionale Oberflächen kann das zum Beispiel die Anzahl an Löchern sein: Alle Objekte mit der gleichen Lochzahl werden als identisch angesehen. Doch in mehr Dimensionen wird es schwieriger – beginnend mit der Frage, wie ein hochdimensionales Loch aussieht. Daher sucht man nach algebraischen Größen wie Zahlen, Matrizen, Gruppen oder Ähnlichem, die mit einer Figur zusammenhängen, und unter erlaubten Verformungen ebenfalls unverändert bleiben (oder auf ganz bestimmte Art transformieren).

Unter den Grundbausteinen aufräumen

Die grundlegendsten Bausteine der Disziplin sind topologische Räume. In der Mathematik entsprechen Räume einer Menge aus Punkten. Zum Beispiel enthält eine Kugel alle Punkte, die innerhalb eines festen Abstands vom Mittelpunkt entfernt sind. Wenn man zwei dieser Punkte kennt, kann man sogar deren Distanz bestimmen.

Topologische Räume sind hingegen allgemeiner gefasst: Man muss den Punkten nicht zwangsweise einen genauen Abstand zuordnen können, sondern lediglich definieren, welche sich halbwegs nah zueinander befinden. Das bietet den Vorteil, dass man sie verformen kann, solange man nicht ihre grundlegende Struktur ändert: Nahe gelegene Punkte müssen sich nach der Transformation immer noch in der gleichen Umgebung befinden. Zudem ermöglichen topologische Räume Konzepte wie Nähe für Objekte zu definieren, die keine Zahlen sind.

Mit solchen Strukturen arbeiten Mathematikerinnen und Mathematiker schon seit mehr als 100 Jahren – und sie tauchen inzwischen in fast jedem Gebiet auf. Ein Beispiel dafür ist die Analysis, der wir durch Kurvendiskussionen bereits in der Schule begegnen. Eigentlich geht es in dem Fachgebiet aber darum, Funktionen zwischen topologischen Räumen zu untersuchen. Und nun behaupten die beiden Mittdreißiger Scholze und Clausen, man solle von diesem Konzept ablassen und stattdessen andere Objekte als Basis verwenden: nämlich die von ihnen entwickelten »verdichteten Mengen«.

Spätestens seit seiner Masterarbeit gilt Scholze als mathematisches Wunderkind

Scholze sitzt auf einer Holzbank im Außenbereich der Universität Bonn und bedient sich ebenfalls einer Analogie aus dem Bereich des Backens, um die neuen Strukturen anschaulich zu machen. Der laue Frühlingstag hat viele Studierende herausgelockt. In kleinen Grüppchen tummeln sie sich an hölzernen Picknicktischen, die auf der gepflegten Rasenfläche verteilt sind. Durch sein jugendliches Aussehen und seine legere Kleidung fällt der Mathematiker kaum unter ihnen auf.

»Es ist, als wolle man einen Kuchen untersuchen – dieser symbolisiert einen topologischen Raum«, erklärt er geduldig. »Ein Topologe würde sich dafür einen Punkt herauspicken und den darum herumliegenden Teil des Kuchens herausschneiden. Dann würde er versuchen, ihn zu analysieren. Findet man Schokoladenstückchen, Kirschen oder Mandeln? Wurde er mit Weizen- oder Dinkelmehl gebacken, enthält er Eier oder ist gar vegan? Das lässt sich auf diese Art nur schwer herausfinden.«

Viel einfacher wäre es, wenn man das Rezept für den Kuchen besäße, das erklärt, welche Zutaten man auf welche Weise hinzugeben muss. Das ist der Ansatz der verdichteten Mathematik: Anstatt den topologischen Raum selbst als Grundlage zu nehmen, zerstückelt man ihn in seine Einzelbestandteile und liefert eine Anweisung, um diese wieder zu einem großen Ganzen zusammenzufügen. Die verdichtete Menge ist das Rezept, das man laut Scholze und Clausen nun als elementaren Baustein nutzen sollte.

Da fast alle Bereiche des Fachs auf topologischen Räumen aufbauen, bringt das nichts Geringeres mit sich als den Neubau weiter Teile der Mathematik. Dabei hat die Fachcommunity wohl von Scholze schon so etwas erwartet. Spätestens seit seiner Masterarbeit, die er bereits mit 22 Jahren abschloss, galt er als mathematisches Wunderkind. Damals, 2010, war es ihm gelungen, einen Beweis auf nur 34 Seiten zu fassen, mit dem seine renommierten Kollegen Michael Harris und Richard Taylor zuvor ein Buch mit immerhin 288 Seiten füllten. Das zahlentheoretische Theorem, um das sich die Arbeit dreht, gehört zum so genannten Langlands-Programm.

Allein dieses Gebiet lässt viele Fachleute ehrfürchtig aufhorchen. Es umfasst mehrere Vermutungen, die der Mathematiker Robert Langlands am Anfang seiner Karriere in den späten 1960er Jahren formuliert hatte. Sie betreffen ungeahnte Verbindungen zwischen den Gebieten der Zahlentheorie, Analysis und Geometrie. Seit mehr als 60 Jahren versuchen Fachleute, die vorhergesagten Brücken nachzuweisen und die Bausteine zusammenzusetzen, die Langlands damals vermutet hatte. Teilweise waren sie dabei erfolgreich, doch wie bei allen monumentalen Bauwerken ergeben sich durch jede Lösung neue Anknüpfungspunkte, die das Gebiet wachsen lassen (siehe »Spektrum« April 2022, S. 12).

Die Expertinnen und Experten sind weit davon entfernt, sämtliche Hypothesen Langlands bewiesen zu haben. Dennoch gab es bereits Erfolge. Durch eine Verbindung zwischen Zahlentheorie und Geometrie konnte Andrew Wiles 1995 beispielsweise endlich den großen Satz von Fermat beweisen.

Ein Problem, das ihn jahrelang verfolgte

Das erregte einige Jahre später die Aufmerksamkeit des damals 16-jährigen Scholze. Durch seine Teilnahme und – zumindest für ihn unerwarteten – Erfolge bei Mathematik-Wettbewerben lernte er mehrere gleichaltrige Personen kennen, die seine Leidenschaft teilten. Durch diese Kontakte stieß er auf das besagte Theorem von Fermat. Als er sich damit beschäftigte, stellte er überrascht fest, dass es schon bewiesen war.

Scholze nahm sich daraufhin vor, Wiles‘ Arbeit zu verstehen. Wie er schnell bemerkte, war das keine einfache Aufgabe. Immerhin hatte es mehr als 350 Jahre gedauert, bis die Fachwelt eine Lösung fand. Doch der damalige Schüler ließ sich davon nicht entmutigen und blieb hartnäckig. »Es hat mich eben wirklich interessiert«, erklärt er.

Das Problem begleitete ihn sechs Jahre lang, bis zum Ende der Schulzeit und durch sein gesamtes Studium hindurch – das er nach nur drei Jahren mit einem Masterabschluss beendete. Zwei Jahre später promovierte er und wurde gleich darauf zum Professor berufen: dem damals jüngsten in ganz Deutschland. Im Alter von nur 30 Jahren erhielt er schließlich die Fields-Medaille, eine der höchsten Ehrungen der Mathematik.

Den ehrwürdigen Preis bekam er unter anderem für die so genannten perfektoiden Räume, ein extrem abstraktes Konzept, das er in seiner Doktorarbeit entwickelt hatte. Sie ermöglichen eine geometrische Betrachtung komplizierter Strukturen, beispielsweise bestimmter Zahlensysteme. Dafür muss man diese vervielfältigen und gewissermaßen auftürmen, wodurch ein Gebilde entsteht, dessen Geometrie vollkommen zerklüftet ist, wie eine Staubwolke. Zwar ist die Vorgehensweise komplex, doch wie sich herausstellt, lässt sich das Ergebnis – der perfektoide Raum –, oft besser untersuchen als das ursprüngliche Objekt, etwa das Zahlensystem.

Scholze gelang es, solche Räume für eine Vielzahl von Strukturen zu konstruieren. Damit trieb er die Forschungen von mehreren Fachgebieten maßgeblich voran. Während er mit seinen Arbeiten die Aufmerksamkeit der mathematischen Gemeinschaft auf sich zog, fiel dem jungen Forscher ein – wie er meinte – interessantes Detail auf: Die Idee, einen perfektoiden Raum in eine Art Staubwolke zu verwandeln, lässt sich auf allgemeinere Räume anwenden.

Scholze nannte diesen Prozess den Pro-Étale-Situs. In dem Ergebnis, das er gemeinsam mit dem Mathematiker Bhargav Bhatt von der University of Michigan veröffentlichte, sah der junge Wissenschaftler allerdings keinen großen Gewinn. »Das Aufschreiben hat zwar Spaß gemacht, aber es war jetzt nichts wirklich Bedeutendes«. Auch Clausen wunderte sich, woran sein Kollege forschte. »Er meinte, ich soll mal wieder richtige Mathematik machen«, erzählt Scholze lachend.

Die zwei standen kurze Zeit darauf in Kontakt, weil sich der deutsche Forscher für ein Thema interessierte, an dem Clausen ebenfalls arbeitete. Schließlich bot ihm Scholze 2018 eine Postdoc-Stelle bei sich in Bonn an. Da es sich aber um eine befristete Anstellung handelte, ermutigte Scholze seinen Schützling, sich für eine bessere Position zu bewerben. Hierfür musste Clausen einen Forschungsantrag verfassen.

»Nach der Lektüre sagte mir Peter, der Antrag sei furchtbar – einer der schlechtesten, die er je gesehen hatte«, erinnert sich Clausen. Er hatte darin geschildert, woran er die letzten fünf Jahre gearbeitet hatte – und wie er dabei gescheitert war. Scholze riet ihm, stattdessen über seine Erfolge zu berichten. Clausen hatte geglaubt, bisher kaum etwas Nennenswertes gefunden zu haben. Doch als er mit seinem Vorgesetzten über seine Forschung sprach, realisierte er, dass das nicht stimmte.

Und dann die Überraschung: Während des Gesprächs kam Scholze etwas plötzlich sehr bekannt vor. Wenn auch anders formuliert, nutzte Clausen selbst das Konzept des Pro-Ètale-Situs, das er zuvor belächelt hatte. »Nein, auf keinen Fall!«, reagierte der Postdoc ungläubig, als Scholze ihn darauf aufmerksam machte. Nach einiger Diskussion sah er es allerdings ein. Ohne es zu merken, hatte er die von Scholze entwickelten Ideen, die er als belanglos angesehen hatte, in anderer Erscheinung verwendet.

Doch Clausen war radikaler. Er verwendete den Ansatz, um den Begriff der topologischen Räume in manchen Situationen zu ersetzen. Das half ihm, sich aus einigen Sackgassen zu manövrieren, in die er im Lauf seiner Forschung geraten war. Diese hingen stets mit der Definition topologischer Räume zusammen – und wie er feststellte, gab es keine einfache Möglichkeit, sie zu umgehen. Ihm blieb also nichts anderes übrig, als die Strukturen zu ersetzen.

Man braucht eine völlig neue Sprache

Etwas Ähnliches war ihm bereits während seiner Bachelorarbeit widerfahren. Zu dieser Zeit hatte er Gruppen und deren Darstellungen untersucht, die sich aus bestimmten Symmetrien ergeben. Als er nicht weiterkam, beschlich ihn der Verdacht, dass man eine neue Art von Sprache benötigen könnte, um die komplexen Zusammenhänge auf ganz andere Weise anzugehen. Dann stieß er auf die Arbeit von Jacob Lurie, damals am Massachusetts Institute of Technology und heute in Princeton, der genau diesen Formalismus entwickelte. Ohne zu zögern, entschloss sich Clausen daher, seine Doktorarbeit zu jenem Thema bei Lurie zu absolvieren.

Bei den topologischen Räumen hatte er allerdings weniger Glück. Bisher hatte sich niemand der Hindernisse angenommen, die die Strukturen verursachen. Und so lag es nun an ihm, eine geeignetere Sprache zu erfinden.

Als er Scholze davon erzählte, war dieser gleich Feuer und Flamme. Denn für den deutschen Forscher spielen gute Definitionen eine wichtige Rolle – sie seien manchmal bedeutender als Theoreme, betont er. Gemeinsam arbeiteten die Wissenschaftler die Idee weiter aus und entwickelten so die verdichtete Mathematik.

»Zugegeben, anfangs habe ich verdichtete Mengen nur benutzt, um ein praktisches Problem zu lösen«, erklärt Clausen. »Doch im Nachhinein betrachtet, machen sie auch aus philosophischer Sicht mehr Sinn.« Denn topologische Räume vereinen zwei unterschiedliche Arten von Objekten in sich: Sie bestehen aus einer Menge M von Punkten sowie einer weiteren Menge von Untermengen von M. Diese definieren das abstrakte Konzept von Nähe – nahe gelegene Punkte befinden sich in der gleichen Untermenge. Beide Strukturen passen aber nicht wirklich zusammen, da sie verschiedener Natur sind. Es ist in etwa so, als würde man zwei Größen mit unterschiedlichen Einheiten in der Physik zusammenfassen. »Eigentlich ist es ein Wunder, dass es überhaupt so gut funktioniert hat«, sagt Clausen. Verdichtete Mengen beziehen sich hingegen nur auf Punkte und umfassen nicht auch noch Untermengen, was sie greifbarer macht.

»Dustin Clausen meinte, ich soll endlich mal wieder richtige Mathematik machen«, erzählt Peter Scholze lachend

Der verdichtete Mechanismus lässt sich als eine Art Diskretisierung verstehen: Man nimmt etwas Kontinuierliches und nähert es durch Punkte an – wie eine Flüssigkeit, die in Wirklichkeit aus Atomen besteht. Wie sich herausstellt, lassen sich fast alle topologischen Räume durch solche diskreten Näherungen konstruieren. Die genauen Anleitungen, wie man die Bausteine wieder zusammensetzen muss, sind in den verdichteten Mengen enthalten.

Auch wenn der Ansatz zunächst abstrakt wirkt, ist er vielen von uns – zumindest unbewusst – bereits in der Schule begegnet, als die reellen Zahlen eingeführt wurden. Diese umfassen alle Werte auf einem Zahlenstrahl, von Primzahlen über Brüche bis hin zu irrationalen Zahlen wie π oder √–2.

Im Unterricht definiert man reelle Zahlen in der Regel durch die Dezimalschreibweise, also als Zahl, die unendlich viele Stellen hinter dem Komma haben kann. Meist denkt man als Schüler nicht weiter darüber nach, doch in Wirklichkeit ist die Definition lückenhaft. Denn sie widerspricht einer wichtigen Eigenschaft reeller Zahlen: dass sie lückenlos den gesamten Zahlenstrahl aufspannen. Gibt man zwei reelle Werte vor, lässt sich – egal wie nahe sie sich stehen – stets eine weitere reelle Zahl zwischen den beiden finden. Zum Beispiel, indem man den Mittelwert bildet.

Wenn man allerdings 0,999… betrachtet, dann ergibt sich ein Problem. Zwischen diesem Wert und der Eins klafft eine Lücke, in die keine weitere Zahl mehr passt. Aber keine Panik: Wie sich herausstellt, ist 0,999… nichts anderes als 1 (siehe »0,999… = 1«).

Wenn man die reellen Zahlen jedoch durch die Dezimaldarstellung definiert, muss man das berücksichtigen. Es braucht daher eine zusätzliche Vorgabe: Alle Zahlen, die mit unendlich vielen Neunen enden, werden mit dem aufgerundeten Wert gleichgesetzt.

Die Dezimalschreibweise liefert also unendlich viele unzusammenhängende Intervalle des Zahlenstrahls (eine Art Staubwolke). Erst durch die Identifikation von 0,999… = 1; 0,8999… = 0,9; 0,45999… = 0,46 und so weiter, werden die einzelnen Staubpartikel zu einem Kontinuum zusammengeklebt. Die reellen Zahlen sind ein topologischer Raum. Die Dezimaldarstellung entspricht einer Diskretisierung dieses Raums – und die Bauanleitung zum Zusammenkleben ist die verdichtete Menge.

Gerade im Bereich der Zahlentheorie funktioniert der verdichtete Mechanismus gut. Das ist nicht weiter verwunderlich, da Scholze die neue Idee aus diesem Gebiet abgeleitet hat. Zudem betreut er an der Universität Bonn mehrere Doktoranden zu dem Thema, wodurch es zu einigen Fortschritten kam. Anfangs beschränkten sie sich dabei auf ein ganz bestimmtes Zahlensystem, die so genannten p-adischen Zahlen, die sich oftmals einfacher untersuchen lassen als reelle Zahlen.

Ein extrem kniffliger Beweis

Um aber Analysis betreiben zu können, mussten Scholze und Clausen zeigen, dass der verdichtete Formalismus auch auf reelle und komplexe (die zusätzlich Wurzeln negativer Werte enthalten) Zahlen anwendbar ist. Die Forscher waren überzeugt, dass es möglich sein sollte.

Doch ihr erster Versuch, das nachzuweisen, scheiterte. Sie schwächten daraufhin die Aussage, die sie beweisen wollten, ab und wagten es erneut. Der Beweis verlief wesentlich schwieriger als erwartet. Eigentlich sollte er auf Methoden der Funktionentheorie aufbauen, aber als Scholze versuchte, Fachleuten aus dem Gebiet seine Überlegungen zu erläutern, waren die Fachleute schnell verloren.

Clausen und er gingen Schritt für Schritt vor und folgten dem natürlichen Weg, den der Beweis vorzugeben schien. Allerdings fühlte es sich irgendwie an, als führte er in eine völlig falsche Richtung. »Plötzlich ging es nur noch um Arithmetik, obwohl die ursprüngliche Aussage erst mal nicht viel damit zu tun hat«, erklärt Scholze. Es war eine Mammutaufgabe, aber letztlich gelang es dem deutschen Mathematiker, sie abzuschließen.

»Das war die erstaunlichste mathematische Leistung, die ich je gesehen habe«, sagte Clausen gegenüber der Fachzeitschrift »Nature«. Scholze hatte unablässig an der Aufgabe gearbeitet. Als sie das Ergebnis gemeinsam durchsahen, erschienen ihnen die Argumente schlüssig. Aber sie konnten sich nicht 100-prozentig sicher sein, dass sich nicht doch an irgendeiner Stelle ein Fehler eingeschlichen hatte. Die Kollegen, die sie um Begutachtung baten, gaben schnell auf.

»Ich konnte nicht guten Gewissens eine ganze Theorie auf einem Luftschloss aufbauen«, erklärt Scholze. Auch die Inhalte, die er gegenwärtig mit Clausen an der Universität Bonn und Kopenhagen lehrt, basieren auf besagtem Theorem. »Wir haben es den Studierenden ganz am Anfang der Vorlesung als Blackbox mitgegeben: Sie können es nutzen und wir ersparen ihnen die Details, die dahin führen.«

Da sich niemand fand, der die Arbeit prüfen konnte, die beiden Forscher aber sichergehen mussten, dass sich kein Fehler versteckt hatte, griffen sie auf eine ungewöhnliche Methode zurück. In einem Blogpost forderte Scholze im Dezember 2020 Informatiker heraus, mit algorithmischen Beweisassistenten zu überprüfen, ob sein Beweis korrekt ist.

Solche Software ist nicht neu. Seit Jahrzehnten gibt es derartige Computerprogramme, die mathematische Argumente anhand logischer Prinzipien verifizieren (siehe »Spektrum« Februar 2021, S. 76). Dafür brauchen die Rechner allerdings Unmengen an Daten: Sie benötigen alle formalen Grundlagen, auf denen ein Beweis aufbaut. Anschließend muss man die Argumentation in eine für den Computer nachvollziehbare Form überführen. All das erfordert viel Arbeit. Gemäß den Gesetzen der Logik kann der Algorithmus dann Schritt für Schritt alle Inhalte eines Beweises durchgehen und prüfen, ob die Schlussfolgerung am Ende korrekt ist.

Die Antwort auf Scholzes Anliegen ließ nur ein halbes Jahr auf sich warten, was die gesamte Fachwelt verblüffte. Wie sich herausstellte, war der Beweis richtig. Nun gab es also keinen Grund mehr, an dem Ergebnis zu zweifeln. Dennoch gefällt es Scholze nicht. »Vielleicht setzen sich in Zukunft ein paar Kollegen ran und finden einen schöneren Weg, es zu zeigen.« Er selbst werde es aber zunächst dabei belassen.

Inzwischen hat sich die verdichtete Mathematik in verschiedenen Situationen als hilfreich erwiesen, auch wenn sie noch in den Kinderschuhen steckt. Die Fargues- Fontaine-Kurve, die einen der größten Fortschritte im Langlands-Programm der letzten Jahrzehnte darstellt, haben Scholze und sein französischer Kollege Laurent Fargues von der Sorbonne Université mit verdichteten Mengen hergeleitet. Zudem haben Clausen und er viele weitere Ideen, wie der neue Formalismus Vorteile bringen könnte. Doch wie beide Mathematiker betonen, seien sie nicht besonders gut darin, Dinge aufzuschreiben.

Raus aus der Nische

Genau das ist aber essentiell: Zum einen erkennt man durch sauberes Ausformulieren manchmal erst einige Schwierigkeiten, die man zuvor nicht bedacht hatte, zum anderen kann man auf diese Weise sein Wissen mit der Fachwelt teilen. Andernfalls ist es so gut wie unmöglich, weitere Kolleginnen und Kollegen in seine Forschung mit einzubeziehen. Die mangelnde Sachkenntnis anderer Personen war schließlich der Grund, weshalb die beiden Wissenschaftler in der Vergangenheit auf die Hilfe eines Computers zurückgreifen mussten.

»Wir wollen unsere Erkenntnisse teilen und tun das auch«, betont Scholze. Etwa durch einführende Vorlesungen, wie sie im Sommersemester 2022 an den Universitäten Bonn und Kopenhagen stattfanden. Die zwei Forscher hoffen so, nicht nur erfahrene Kollegen, sondern ebenso jüngere Studierende zu erreichen. »Das größte Ziel besteht für mich darin, dass die verdichtete Mathematik irgendwann so akzeptiert ist, dass man sie als fast schon banal ansieht«, so Clausen. »In diesem Fall würde man sie nicht einmal mehr als Bestandteil einer Problemlösung erwähnen, auch wenn sie überall implizit verwendet wird.«

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QUELLEN

Bhatt, B., Scholze, P.: The pro-étale topology for schemes. arXiv:1309.1198, 2013

Fargues, L., Scholze, P.: Geometrization of the local Langlands correspondence. 2102.13459, 2021

Scholze, P., Clausen, D.: Lectures on condensed mathematics. , 2019

Scholze, P., Clausen, D.: Lectures on Analytic Geometry. , 2020