Bereits Kunde? Jetzt einloggen.
Lesezeit ca. 13 Min.

TROPISCHE GEOMETRIE DAS SKELETT DER AMÖBE


Spektrum der Wissenschaft - epaper ⋅ Ausgabe 6/2019 vom 18.05.2019

Jüngst entstand ein neues Fachgebiet, bei dem Mathematiker geometrische Objekte so stark verändern, dass nur ein »Skelett « der eigentlichen Form zurückbleibt. Dennoch behalten die Strukturen viele ihrer ursprünglichen Eigenschaften bei – wodurch sie unerwartete Geheimnisse offenbaren.


ANTOINE CHAMBERT-LOIR

Artikelbild für den Artikel "TROPISCHE GEOMETRIE DAS SKELETT DER AMÖBE" aus der Ausgabe 6/2019 von Spektrum der Wissenschaft. Dieses epaper sofort kaufen oder online lesen mit der Zeitschriften-Flatrate United Kiosk NEWS.

Bildquelle: Spektrum der Wissenschaft, Ausgabe 6/2019

Indem man gewöhnliche Gleichungen »tropisiert«, ähneln die dadurch entstehenden Objekte Amöben mit Tentakeln, die sich ins Unendliche erstrecken.

Wenn man ein kompliziertes mathematisches Problem lösen möchte, erweist sich der direkte Weg manchmal als schwierig. In diesen Fällen lohnt es sich, vom ...

Weiterlesen
epaper-Einzelheft 5,99€
NEWS 14 Tage gratis testen
Bereits gekauft?Anmelden & Lesen
Leseprobe: Abdruck mit freundlicher Genehmigung von Spektrum der Wissenschaft. Alle Rechte vorbehalten.

Mehr aus dieser Ausgabe

Titelbild der Ausgabe 6/2019 von SPEKTROGRAMM. Zeitschriften als Abo oder epaper bei United Kiosk online kaufen.
SPEKTROGRAMM
Titelbild der Ausgabe 6/2019 von SPIEGELSYMMETRIE DER TROPISCHE SPIEGEL. Zeitschriften als Abo oder epaper bei United Kiosk online kaufen.
SPIEGELSYMMETRIE DER TROPISCHE SPIEGEL
Titelbild der Ausgabe 6/2019 von FORSCHUNG AKTUELL. Zeitschriften als Abo oder epaper bei United Kiosk online kaufen.
FORSCHUNG AKTUELL
Titelbild der Ausgabe 6/2019 von SPRINGERS EINWÜRFE :GÖTTLICHE HÜTER DER MORAL. Zeitschriften als Abo oder epaper bei United Kiosk online kaufen.
SPRINGERS EINWÜRFE :GÖTTLICHE HÜTER DER MORAL
Titelbild der Ausgabe 6/2019 von BIOLOGIE: DIE ENTWIRRUNG DES GENOMS. Zeitschriften als Abo oder epaper bei United Kiosk online kaufen.
BIOLOGIE: DIE ENTWIRRUNG DES GENOMS
Titelbild der Ausgabe 6/2019 von ANTARKTIS EISRIESE VOR DEM KOLLAPS?. Zeitschriften als Abo oder epaper bei United Kiosk online kaufen.
ANTARKTIS EISRIESE VOR DEM KOLLAPS?
Vorheriger Artikel
SPEKTROGRAMM
aus dieser Ausgabe
Nächster Artikel SPIEGELSYMMETRIE DER TROPISCHE SPIEGEL
aus dieser Ausgabe

... gewohnten Pfad abzuweichen und einen Umweg in Kauf zu nehmen.

In einer solchen Situation befand sich Gerolamo Cardano im 16. Jahrhundert. Damals biss er sich an der Lösung kubischer Gleichungen die Zähne aus. Doch irgendwann kam ihm eine zündende Idee, welche die moderne Mathematik auf ungeahnte Weise prägen sollte: Er führte während seiner Berechnungen Wurzeln aus negativen Zahlen ein – heute sind sie als imaginäre Zahlen bekannt. Er maß ihnen keine besondere Bedeutung bei, sie halfen ihm aber, die kniffligen Aufgaben zu lösen. Inzwischen haben sich komplexe Zahlen, die sich aus reellen und imaginären Zahlen zusammensetzen, als so wichtig herausgestellt, dass viele aktuelle Fortschritte der Naturwissenschaften ohne sie nicht denkbar wären.

Die tropische Geometrie ist ein weiteres Beispiel für einen zielführenden Umweg. Sie entstand in den 1980er Jahren und ist inzwischen zu einem aktiven Forschungsfeld herangewachsen, das auch andere mathematische Bereiche beeinflusst. Einer der größten Nutznießer dieser Entwicklung ist die algebraische Geometrie. Wie Mathematiker feststellten, kann es sich in diesem Gebiet lohnen, einen Schlenker über die tropische Geometrie zu machen. Denn einige Eigenschaften algebraischer Kurven lassen sich im tropischen Teil einfacher berechnen.

Um das nachzuvollziehen, muss man zuerst algebraische Kurven verstehen. Sie bestehen aus einer Menge von Punkten (x, y ), die eine so genannte polynomiale Gleichung lösen, zum BeispielF (x, y ) =axy 3 +bx 2y +cx +dy +f = 0. Die Punktex undy können dabei nicht bloß reelle, sondern auch komplexe Werte annehmen, also imaginäre Zahlen enthalten. In solchen Fällen besteht jede Variablex =a + ib aus zwei reellen Koordinatena undb und der imaginären Einheit i, die der Wurzel aus minus eins entspricht. Die ursprüngliche GleichungF (x, y ) = 0 hängt also von insgesamt vier reellen Koordinaten ab und spaltet sich in zwei unabhängige Teile auf: in einen Realteil ohne i und einen Imaginärteil mit i. Die entsprechende geometrische Figur ist dann streng genommen keine Kurve mehr, sondern eine Oberfläche im vierdimensionalen Raum.

Das mag abstrakt klingen, doch Mathematiker haben verschiedene Methoden entwickelt, um diese Objekte zu untersuchen. Allerdings stoßen sie dabei häufig an ihre Grenzen. Denn die algebraische Geometrie hat sich in vielen Punkten als äußerst schwierig entpuppt.

In den 1990er Jahren hatten die Forscher Israel Gelfand an der Rutgers University in New Jersey, Mikhail Kapranov, damals an der Northwestern University in Illinois, und Andrei Zelewinsky an der Northeastern University in Boston eine merkwürdig erscheinende Idee für einen Umweg, der die Erforschung algebraischer Kurven erleichtern sollte. Anstatt direkt die komplexen Lösungenx undy einer GleichungF (x, y ) = 0 zu studieren, betrachteten sie die Logarithmen ihrer Beträge. Das heißt, sie visualisierten alle Punkte (u, v ) = (log |x |, log |y |). Weil die Beträge komplexer Zahlen reell sind, halbierten die Forscher so die Dimensionen des eigentlichen Problems: Aus den seltsamen Flächen im vierdimensionalen Raum werden gewöhnliche Kurven in der Ebene. Das Erstaunliche ist, dass dabei einige Eigenschaften der ursprünglichen Gleichung erhalten bleiben.

ANTOINE CHAMBERT-LOIR

Links: Der rot markierte Bereich in der Ebene ist die »Amöbe « der komplexen Geradengleichungx +y = 1. Ihr Skelett (blau) entspricht der tropischen Kurve. Sie ist durch alle Punkte (u, v ) gegeben, für die mindestens zwei der Argumenteu, v und 0 maximal sind. Unten: Indem man die Basis des Logarithmus (hier fürx +y = 1) vergrößert, zieht sich die Amöbe immer weiter zusammen. Für den Grenzfall, bei dem die Basis gegen unendlich geht, bleibt nur noch ihr Skelett übrig.

AUF EINEN BLICK TROPISCHE GEOMETRIE

1 In diesem jungen Forschungsgebiet ersetzt man die Addition zweier Zahlen durch den größten beider Werte und die Multiplikation durch ihre Summe.

2 Dadurch vereinfachen sich komplizierte Oberflächen zu tropischen Kurven, die sich aus mehreren Liniensegmenten zusammensetzen.

3 Trotz der massiven Veränderungen behalten die tropischen Kurven viele Eigenschaften der ursprünglichen Objekte bei, was neue Blicke auf alte mathematische Probleme ermöglicht.

Komplizierte Gerade

Um das zu erkennen, hilft ein Beispiel. In komplexen Koordinaten beschreibt die Geradengleichungx +y – 1 = 0 eine komplizierte Fläche. Betrachtet man dagegen die Logarithmen der Beträge vonx undy , füllen diese Punkte einen Teil der zweidimensionalen Ebene aus, die durch drei Kurvengleichungen begrenzt ist (siehe Bild auf S. 13): Für negativeu gehören alle Punkte (u, v ) innerhalb vonv = log (eu + 1) undv = log (1 – eu ) zur Lösung, während für positiveu alle zwischenv = log (eu + 1) undv = log (eu – 1) die Gleichung erfüllen.

Die Kurvengleichungen begrenzen ausufernde Bereiche, deren Form an Tentakel erinnert. Das ist keine Besonderheit der betrachteten Gerade, sondern ein Merkmal aller algebraischen Kurven. Wegen ihrer Ähnlichkeit zu den Wechseltierchen bezeichnen Mathematiker die geometrischen Objekte als Amöben.

Doch woher kommen diese Tentakel? Tatsächlich haben sie einen einfachen Ursprung. Sie entsprechen den Gebieten, in denen die Koordinatenx undy entweder sehr groß oder sehr klein sind. In der diagonalen Tentakel sind beispielsweise sowohlx als auchy groß, so dass sich die Gleichungx +y = 1 wiey ≈ –x verhält. Insbesondere stimmen die Beträge beider Zahlen überein, wodurch sich die diagonale Gleichungv =u ergibt. Der linke Tentakel entspricht dagegen vernachlässigbar kleinen Werten vonx . In diesem Fall vereinfacht sich die ursprüngliche Gleichung zuy ≈ 1, worausv = log |y | ≈ 0 folgt. Ebenso ergibt sich der untere Tentakel für kleiney ausu = log |x | ≈ 0.

Indem man diese Extremfälle betrachtet, kann man das »Skelett« der Amöbe nachzeichnen. Fürx +y = 1 besteht es aus drei Halbgeraden, die sich im Ursprung treffen. Die russischen Mathematiker Victor Maslov von der Lomonossow-Universität in Moskau und Oleg Viro, damals an der Universität Uppsala in Schweden, fanden heraus, wie es sich herausarbeiten lässt: Man ersetzt die Basis des Logarithmus, der die Koordinatenu undv definiert, durch immer größere Zahlen. Das hungert die Amöbe nach und nach aus und legt ihr Skelett frei (siehe Bild auf S. 13).

Dieses Phänomen verdankt man den Eigenschaften der Logarithmusfunktion. Sie wandelt beispielsweise die Multiplikation in eine Addition um: Wennz =xy , dann ist logbz = logbx + logby . Mitw = logbz folgt alsow =u +v . Während sich die Multiplikation vereinfacht, wird die Addition allerdings komplizierter: Fürz =x +y istw = logb(x +y ) = logb(blogx + blogy ), alsow = logb(bu + bv ).

Der letzte Ausdruck erscheint zwar recht umständlich, er nimmt aber eine einfachere Gestalt an, wenn die Basis b des Logarithmus sehr groß ist. In diesem Fall dominiert die größere der beiden Zahlenu undv , das heißt, nur sie bleibt im Grenzfall einer unendlich großen Basis übrig:w = max (u, v ). Addition (+) und Multiplikation (·) werden also durch die Operationen »max« und + ersetzt. Heute ist diese »Max-Plus-Algebra« als tropische Algebra bekannt (siehe »Exotische Namensgebung«, unten).

Jedes Polynom lässt sich derart in eine tropische Form übersetzen (siehe Bild links unten). Die Geradengleichungx +y – 1 = 0 wird beispielsweise zu max (u, v, 0). Diese tropische Kurve entspricht den drei Halbgeraden, die das Skelett der Amöbe nachzeichnen. Die tropische Gleichung vona · xn ist demzufolge log |a | +n · u , und das Polynom 5x 2 – 4y 3 – 2 vereinfacht sich analog zu max (log 5 + 2u , log 4 + 3v , log 2).

Zwei Eigenschaften haben alle algebraischen Kurven gemeinsam: Ihr Skelett besteht immer aus gebietsweise linearen Funktionen; und ihre Amöbe setzt sich stets aus endlich vielen konvexen Bereichen zusammen. Letzteres bedeutet, dass sich entweder zwei Punkte außerhalb der Amöbe durch eine Gerade verbinden lassen oder dass es keine stetige Kurve gibt, die beide Punkte verknüpft, ohne die Amöbe zu kreuzen. Sprich: Die Gebiete haben stets die Form einer Amöbe mit langen Tentakeln. Im Gegensatz zu den betrachteten Beispielen ist die grafische Darstellung des Skeletts und der Amöbe einer polynomialen Gleichung aber nicht immer einfach. Daher haben sich tropische Kurven inzwischen als eigenständiges Forschungsthema etabliert.

Was macht diese seltsamen Objekte für Mathematiker überhaupt interessant? Einer ihrer Reize ist, dass sie trotz ihrer Einfachheit die ursprüngliche komplexe Kurve ziemlich genau widerspiegeln. Komplizierte algebraische Fragestellungen verwandeln sich auf tropischer Ebene in rein kombinatorische Probleme, die ein Computer lösen kann (sieheSpektrum November 1995, S. 20).

Denn erstaunlicherweise haben tropische und algebraische Kurven viele Gemeinsamkeiten. Ein Beispiel dafür zeigt sich im »Satz von Bézout«, wonach die Anzahl der Schnittpunkte zweier Kurven gleich dem Produkt ihres jeweiligen Grades ist, das heißt des höchsten Exponenten der Variablenx undy im PolynomF (x, y ). Überraschenderweise lässt sich der Satz von Bézout auch auf tropische Kurven übertragen (siehe Bild links oben) – in diesem Fall ist er sogar allgemeiner. Die tropische Version des Theorems stellt keinerlei Bedingungen an die zwei Geraden, während die algebraische Variante erfordert, dass sie sich nicht über eine gewisse Strecke überlappen. Der tropische Satz von Bézout bietet zudem einen weiteren Vorteil: Neben der Anzahl an Schnittpunkten liefert er auch Hinweise darauf, wo sie zu finden sind.

Zwei Punkte in einer Ebene definieren genau eine Gerade. Durch fünf willkürlich verteilte Punkte verläuft genau ein Kegelschnitt (hier eine Ellipse). Für Kurven höheren Grades gibt es ähnliche Beziehungen. 2005 legten Mathematiker dazu einen Beweis vor, den sie mit Hilfe der tropischen Geometrie führten.

Zählen von Lösungen

Dass solche Theoreme aus der algebraischen Geometrie einfach auf tropische Objekte übertragbar sind, verwundert Mathematiker. Doch das gibt ihnen ein neues Werkzeug in die Hand. So konnten sie in den letzten Jahren die Gemeinsamkeiten von tropischen und algebraischen Kurven nutzen, um komplizierte Beweise zu vereinfachen.

Das wohl prominenteste Beispiel dafür findet sich in der enumerativen Geometrie, einem der ältesten mathematischen Bereiche. Schon in der Antike interessierten sich Gelehrte für die Anzahl von Lösungen geometrischer Probleme. Apollonios von Perge fragte sich etwa, wie viele Kreise man zeichnen kann, die drei vorgegebene Kreise gleichzeitig berühren. Im 16. Jahrhundert fand man heraus, dass die Aufgabe immer acht Lösungen hat – unabhängig davon, wie die drei vorgegebenen Kreise angeordnet sind. Auch Euklid beschäftigte sich mit dem Zählen von Lösungen. Er postulierte im dritten Jahrhundert vor Christus, dass es nur eine Gerade gibt, die durch zwei beliebig platzierte Punkte verläuft. Seither versuchen Mathematiker das Problem zu verallgemeinern (siehe Bild oben): Wie viele Kurven bestimmten Grades verlaufen durch drei oder mehr willkürlich verteilte Punkte in der Ebene oder in einem komplizierteren Raum?

Im 17. Jahrhundert hatte sich der französische Mathematiker Blaise Pascal jener Aufgabe für Figuren gestellt, die sich aus dem Schnitt eines Kegels mit einer Ebene ergeben (»Kegelschnitte«). Zu diesen Kurven zweiten Grades zählen Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln. Er fand heraus, dass fünf beliebig verteilte Punkte – von denen höchstens zwei auf einer Geraden liegen – eindeutig einen Kegelschnitt definieren. Geometer fragten sich daraufhin, ob solche enumerativen Probleme für alle algebraischen Kurven allgemein gelöst werden können. Wie sich herausstellte, gibt es zumindest eine bestimmte Klasse, so genannte rationale Kurven, für die das möglich ist (siehe »Rationale Kurven«, links). Und die tropische Geometrie sollte den Beweis dieser Aussage drastisch vereinfachen.

Exotische Namensgebung

Woher stammt der Name »tropische« Geometrie? Häufig übernehmen Mathematiker Begriffe aus der Alltagssprache, ohne jeglichen Bezug zu ihrem wörtlichen Sinn. Das ist auch hier der Fall. In seinen Anfängen hieß der Bereich exotische Algebra, danach wurde er bis Ende der 1980er Jahre Max-Plus-Algebra genannt. Inzwischen ist er zur »tropischen Algebra« geworden, auf Anregung mehrerer theoretischer Informatiker von der Universität Paris-VII, die ihrem brasilianischen Kollegen Imre Simon, einem Pionier auf diesem Gebiet, Tribut zollen wollten.

Erst 1994 fand der französisch-russische Geometer Maxim Kontsevich, der heute am Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES) in der Nähe von Paris arbeitet, eine Methode, um rationale Kurven zu zählen. Er leitete eine Formel her, welche die AnzahlNd aller rationalen Kurvend -ten Grades berechnet, die 3d – 1 Punkte in der Ebene durchqueren.

Aus Kontsevichs Formel folgt unter anderem, dass es zwölf Kurven dritten Grades gibt, die durch acht vorgegebene Punkte verlaufen (N ₃ = 12); dass 620 Kurven vierten Grades elf Punkte durchqueren (N ₄ = 620) und 87 304 Kurven fünften Grades 14 Punkte schneiden (N ₅ = 87 304). Diese Ergebnisse waren schon vorher bekannt. Mit Kontsevichs Formel kann man jedoch Kurven beliebig hohen Grades auf einfache Weise zählen. Sie lieferte unter anderem die bislang unbekannten Werte:N ₆ = 26 312 976,N ₇ = 14 616 808 192 undN ₈ = 13 525 751 027 392. Obwohl die Zahlen rasant ansteigen, bleiben sie stets endlich. Das mag auf den ersten Blick erstaunlich wirken, aber die 3d – 1 Punkte legen eine komplexe rationale Kurve fest (siehe »Wie Punkte in der Ebene komplizierte Kurven festlegen«, rechts).

Elf Jahre nach Kontsevichs bahnbrechender Veröffentlichung fanden Andreas Gathmann und Hannah Markwig von der Universität Kaiserslautern eine tropische Version von Kontsevichs Formel. Sie zählt alle tropischen Kurvend -ten Grades, die 3d – 1 Punkte kreuzen. Zusammen mit einer Arbeit von Grigory Mikhalkin von der Universität Genf, in der er eine Verbindung zwischen algebraischen Kurvend -ten Grades und ihren tropischen Analoga fand, liefert das Ergebnis einen einfacheren Beweis für Kontsevichs Formel.

Die Rückkehr ins Reelle ist nicht immer einfach

Allerdings vermag man damit lediglich komplexe Kurven zu zählen. Beschränkt man sich auf rein reelle Objekte, gestaltet sich das Problem weitaus schwieriger. Ihre Anzahl hängt nämlich von der genauen Verteilung der Punkte im Raum ab. Erst 2002 fand der Mathematiker Jean-Yves Welschinger, der heute an der Université de Lyon arbeitet, einen Trick zur Berechnung der nach ihm benannten Welschinger-InvariantenWd . Diese bestimmt jedoch nicht alle reellen Kurvend -ten Grades, die durch 3d – 1 Punkte verlaufen, sondern bloß ihre Mindestanzahl. Welschingers Ansatz besteht darin, alle Kurven mit einem Vorzeichen zu versehen, bevor er sie zählt. Dadurch tragen manche positiv und andere negativ zu der Anzahl bei. Er konnte zeigen, dass diese SummeWd nicht mehr von der genauen Verteilung der Punkte im Raum abhängt.

Rationale Kurven

Geraden und Kegelschnitte (unten) sind die einfachsten Beispiele so genannter rationaler Kurven. Das hat mit ihrer algebraischen Beschreibung zu tun. Tatsächlich kann man eine Kurve auf mehrere Arten darstellen. Die erste Möglichkeit ist, sie durch eine gewöhnliche GleichungF (x, y ) = 0 auszudrücken. Das erweist sich als hilfreich, wenn man prüfen möchte, ob ein Punkt (A, B ) auf der Kurve liegt. Dazu setzt man seine Koordinaten in die Gleichung ein und prüft, ob auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens das gleiche Ergebnis steht.

Möchte man dagegen herausfinden, welche Punkte auf der Geraden liegen, eignet sich eine andere Darstellung besser. Durch eine geeignete »Parametrisierung« hängt beispielsweise eine Gerade, die durch die Punkte (xA , yA ) und (xB , yB ) verläuft, nur von einem Parametert ab, wird dafür aber durch zwei Gleichungen beschrieben:

x (t ) = (1 –t ) ·xA +t ·xB y (t ) = (1 –t ) ·yA +t ·yB

Um einen Punkt (x (t ),y (t )) der Geraden zu berechnen, muss man einen Wert fürt in beide Gleichungen einsetzen.

Rationale Kurven zeichnen sich dadurch aus, dass sie sich durch einen Quotienten zweier PolynomeP (t ) undQ (t ) parametrisieren lassen. Für einen Kreis mit Mittelpunkt in 0 und Radius 1, dessen Gleichung alsox 2 +y 2 – 1 = 0 lautet, ergibt sich beispielsweise:

x (t ) = (1 –t 2) / (1 +t 2)
y (t ) = 2t / (1 +t 2)

Kegelschnitte ergeben sich aus dem Schnitt eines Kegels mit einer Ebene. Diese Kurven lassen sich durch polynomiale GleichungenF (x, y ) = 0 zweiten Grades beschreiben.


ADÈLE GALLÉ / POUR LA SCIENCE OKTOBER 2018

Es fehlte aber eine einfache Methode wie Kontsevichs Formel, um Welschinger-Invarianten zu berechnen. Hier kommt die tropische Geometrie ins Spiel und liefert eines der ersten Beispiele, in dem das junge Forschungsgebiet zu neuen mathematischen Erkenntnissen geführt hat. 2009 fanden Ilia Itenberg von der Universität Paris-Sorbonne, Viatcheslav Kharlamov von der Universität Straßburg und Eugenii Shustin von der Universität Tel Aviv mit Hilfe der tropischen Geometrie eine Formel, die Welschinger-Invarianten ausspuckt. Aus ihr folgt beispielsweise, dassW ₁ = 1,W ₂ = 1,W ₃ = 8 undW ₄ = 240 ist. Wenn es alsoN ₃ = 12 komplexe Kurven dritten Grades gibt, die durch acht Punkte in der Ebene verlaufen, sind mindestensW ₃ = 8 davon reell. Unter Berücksichtigung der verschiedenen Vorzeichen bedeutet das: Es gibt je nach Verteilung der acht Punkte im Raum entweder acht (alle haben das gleiche Vorzeichen), zehn (eine hat ein anderes Vorzeichen als die neun übrigen) oder zwölf (zwei Kurven haben ein negatives und zehn ein positives Vorzeichen) reelle Kurven gibt, die sie passieren.

Die tropische Geometrie half im August 2018 auch David Jensen von der University of Kentucky und Sam Payne von der Yale University dabei, eine bisher unbekannte Eigenschaft algebraischer Kurven zu enthüllen. Da diese Kurven eigentlich zweidimensionale Objekte sind, können sie Löcher haben, über die sie häufig klassifiziert werden. Jensen und Payne fanden heraus, dass solche mit 22 und 23 Löchern von »allgemeinem Typ« sind, was unter anderem bedeutet, dass es unmöglich ist, jede dieser Kurven durch rationale Funktionen zu beschreiben.

Insgesamt hat die tropische Geometrie zu wichtigen Fortschritten in unterschiedlichen mathematischen Bereichen geführt. Sogar in der Physik könnte sie ein jahrzehntealtes Rätsel lösen (siehe »Der tropische Spiegel« auf S. 18). Es wundert noch immer viele Wissenschaftler, dass sich der brandneue Forschungszweig als so effizient erweist. Sein Vorteil besteht darin, dass er viele komplizierte Probleme zu rein kombinatorischen Fragen vereinfacht, die ein Computer beantworten kann.

QUELLEN

Gathmann, A., Markwig, H.: The Caporaso-Harris formula and plane relative Gromov-Witten invariants in tropical geometry. Mathematische Annalen 338, 2007

Itenberg, I. et al.: A Caporaso-Harris type formula for Welschinger invariants of real toric Del Pezzo surfaces. Commentarii Mathematici Helvetici 84, 2009

Kontsevich, M.: Enumeration of rational curves via torus actions. ArXiv hep-th/9405035, 1994

WEBTIPP

Rau, J.: A first expedition to tropical geometry. bit.ly/2o6Bzn2,2017

Eine einfach gehaltene, englischsprachige Einführung in die tropische Geometrie, die sich an Anfänger richtet

Wie Punkte in der Ebene komplizierte Kurven festlegen

Maxim Kontsevichs Formel berechnet die Anzahl aller rationaler Kurvend -ten Grades, die durch 3d – 1 willkürlich verteilte Punkte in einer Ebene verlaufen:

Nd = ΣNa · Nb · [a 2 ·b 2 · C(3d – 4, 3a – 2)
a 3 ·b · C(3d – 4, 3a – 1)]

Die Summe Σ läuft über alle positiven ganzen Zahlena undb , welche die Gleichunga +b =d erfüllen. C(p, q ) bezeichnet den Binomialkoeffizientenp ! / [q ! (p – q )!], mitp ! =p · (p – 1) · (p – 2) · … · 2 · 1.

Die ZahlNd lässt sich also nur berechnen, wenn manNa undNb kennt. Glücklicherweise weiß man, wie großN 1 undN 2 sind, so dass sich aus ihnen alle anderenNd bestimmen lassen.

Es mag zunächst überraschend erscheinen, dass die obige Summe endlich bleibt, selbst wenn sie rapide wächst. Das liegt daran, dass 3d – 1 Punkte einige rationale Kurvend -ten Grades vollständig bestimmen. Eine solche Kurve ist im Allgemeinen wie folgt parametrisiert:
x (t ) = (a ₀ + … +ad td )/(c ₀ + … +cd td )
y (t ) = (b ₀ + … +bd td )/(c ₀ + … +cd td )
Sie hängt von 3 · (d + 1) Koeffizientena ₀, …,ad ,b ₀, …,bd ,c ₀, …,cd ab.

Allerdings kann man den Zähler und Nenner beider Brüche durch eine Zahl teilen, beispielsweisecd , ohne etwas an der Form der Kurve zu ändern. Das eliminiert einen Koeffizienten, so dass nur noch 3 · (d + 1) – 1 = 3d + 2 übrig sind.

Darüber hinaus kann man für komplexe rationale Kurven den Parametert durch einen Bruch (g · t +h ) / (u · t +w ) ersetzen. Diese zusätzliche Symmetrie reduziert die Anzahl der benötigten Koeffizienten um weitere drei. Eine rationale Kurved -ten Grades hängt also bloß von (3d + 2) – 3 = 3d – 1 Parametern ab.

Falls eine solche Kurve 3d – 1 Punkte in der Ebene durchquert, kann sie von keinem weiteren Wert mehr abhängen – solange die Punkte »in allgemeiner Lage« sind, das heißt, dass jeder Einzelne von ihnen die Freiheitsgrade einer Kurve um eins reduziert.

Indem Mathematiker die Koordinaten der Punkte in die Parametrisierung einsetzen, können sie das so entstehende riesige Gleichungssystem lösen, um die Koeffizientena ₀, …,ad ,b ₀, …,bd ,c ₀, …,cd zu berechnen. Das System hatNd Lösungen, deren Anzahl sich mit der Formel von Kontsevich bestimmen lässt.