... problemlos vonstatten. Wissenschaftler mussten eine Sammlung so genannter Axiome formulieren – unbeweisbare Aussagen, aus denen alle mathematischen Zusammenhänge folgen sollten, ohne dabei Widersprüche zu produzieren. Diese anspruchsvolle Aufgabe ist inzwischen größtenteils gelöst. Seit Beginn des 20. Jahrhunderts nutzt man ein System von Axiomen, genannt ZFC, das bisher widerspruchsfrei ist und eine umfangreiche Theorie der Unendlichkeiten umfasst.
Dennoch hat die moderne Mengenlehre Schwachstellen. Wie Kurt Gödel Anfang des 20. Jahrhunderts zeigte, gibt es grundlegende Fragen, die sich mit ihr nicht beantworten lassen, man kann sie weder beweisen noch widerlegen. Logiker versuchen daher die Theorie zu erweitern, um zumindest einige der hartnäckigen Rätsel zu lösen.
Im letzten Jahrzehnt machte insbesondere der US-amerikanische Mathematiker Hugh Woodin von der Harvard University bedeutende Fortschritte auf dem Gebiet. Er ist davon überzeugt, das prominenteste aller unentscheidbaren Probleme, die so genannte Kontinuumshypothese, müsse eine Lösung haben. Sie ist entweder wahr oder falsch. Um das zu klären, gründete er zwei gegensätzliche Forschungsprogramme.
Das erste begann vor etwa 15 Jahren. Gemeinsam mit seinen Kollegen versuchte Woodin die Kontinuumshypothese zu widerlegen. Aber die dabei entwickelten Ergebnisse änderten seine Meinung, so dass er ein zweites Programm entwarf, das die Kontinuumshypothese beweisen soll.
Die berühmte Vermutung handelt von der Größe unendlicher Mengen. Cantor erkannte bereits 1871, dass unendlich nicht immer gleich unendlich ist. Manche Mengen mit unendlich vielen Elementen sind größer als andere. Um sie voneinander zu unterscheiden, bediente er sich eines Tricks. Anstatt mühsam die einzelnen Elemente zu zählen, verglich er zwei Mengen, indem er die Elemente der einen mit jeweils einem Element aus der anderen paarte. Möchte man etwa herausfinden, ob es in Deutschland genauso viele angemeldete Fahrzeuge wie Personen mit Führerschein gibt, ordnet man jedem Fahrer ein gemeldetes Auto zu. Wenn das möglich ist, sind beide Mengen gleich groß.
AUF EINEN BLICK
DAS UNBEWEISBARE BEWEISEN
1 Die moderne Mathematik fußt auf der Mengenlehre, die aus einer Sammlung von Axiomen besteht. Die Theorie umfasst auch unendliche Größen und kann diese sogar ordnen.
2 Die K ontinuumshypothese behauptet, dass es keine Menge gibt, die größer als die natürlichen und kleiner als die reellen Zahlen ist. Allerdings kann man die Vermutung weder beweisen noch widerlegen.
3 Deshalb versuchen Mathematiker die Mengenlehre durch sinnvolle Annahmen zu ergänzen, aus denen eindeutig folgt, ob die Kontinuumshypothese wahr oder falsch ist.
Kurz erklärt: Potenzmenge
Die PotenzmengeP(M)einer Menge M ist die Sammlung all ihrer Teilmengen. Wenn M zum Beispiel {1, 2, 3} ist, dann lautet P({1,2, 3}) = {ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}}. Sie enthält stets die leere Menge und die Menge M selbst. Wie Georg Cantor zeigte, ist die Potenzmenge größer als die ursprüngliche Menge – selbst wenn diese bereits unendlich viele Elemente enthält.
Genauso viele gerade wie natürliche Zahlen
Wendet man diese Methode der Bijektion auf unendliche Mengen an, führt das zu überraschenden Ergebnissen. Indem man zum Beispiel jede natürliche Zahl mit zwei multipliziert, erhält man eine solche Eins-zu-eins-Abbildung zwischen den natürlichen und den geraden Zahlen: Jeder natürlichen Zahlnlässt sich genau eine gerade Zahl p= 2n zuordnen; umgekehrt findet man für jede gerade Zahl peine natürliche Zahl n= p/2.Cantor folgerte daraus, dass es genauso viele gerade wie natürliche Zahlen gibt. Das wirkt auf den ersten Blick widersprüchlich, schließlich bestehen letztere aus geraden und ungeraden Zahlen – es müssten also doppelt so viele sein.
Doch anders als gewöhnliche Zahlen verhalten sich unendliche Größen nicht immer so, wie man es erwartet. Cantor konnte beweisen, dass seine Methode zum Vergleich von Mengen zu keinerlei Widersprüchen führt, und sie ist bis heute akzeptiert. Damit lässt sich eine unendliche Menge formal als Menge definieren, die sich aus der Bijektion mit einem ihrer Teile ergibt. Zum Beispiel entstehen die natürlichen Zahlen wie beschrieben aus der Abbildung mit einer ihrer Teilmengen, den geraden Zahlen.
Bijektionen erlauben es, unendliche Größen zu ordnen. Auf diese Weise fand Cantor heraus, dass die Menge aller Teilmengen (PotenzmengeP(M)genannt, siehe »Kurz erklärt: Potenzmenge«) einer unendlichen Menge M stets größer ist als M selbst (M < P(M)).Das heißt, man kann die Elemente von P(M)unmöglich eins zu eins auf jene von M abbilden. Die Menge der natürlichen Zahlen IN = {0, 1, 2, 3, …} ist daher kleiner als ihre Potenzmenge P(IN),zu der unter anderem IN selbst, alle geraden Zahlen oder alle Primzahlen gehören. P(IN)enthält zu viele Elemente, als dass man jeder natürlichen Zahl einen einzigen Partner aus P(IN)zuweisen könnte.
Mit der Potenzmengen-Operation lassen sich immer größere Mengen aufbauen. Dadurch entsteht eine Hierarchie von Unendlichkeiten, etwa: IN <P(IN)< P(P(IN))< P(P(P(IN))< … Tatsächlich entsprechen die natürlichen Zahlen IN der kleinstmöglichen Unendlichkeit, man nennt sie abzählbar. Ebenso ist jede andere Menge abzählbar, wenn sie sich eins zu eins auf IN abbilden lässt, wie die ganzen oder die rationalen Zahlen. Die reellen Zahlen IR sind dagegen größer, denn es existiert eine Bijektion zwischen ihnen und P(IN)(siehe »Unendlich ist nicht immer gleich unendlich«).
Wenn man weiß, dass P(IN) und IR größer als IN sind, stellt sich folgende Frage: Gibt es Unendlichkeiten, die zwischen IN und IR liegen? Weil man keine Menge finden konnte, die größer als IN und kleiner als IR ist, ging Cantor davon aus, eine solche könne nicht existieren. Das ist die berühmte Kontinuumshypothese. Der Begriff Kontinuum bezieht sich dabei auf die reellen Zahlen, die den Punkten auf einem Zahlenstrahl entsprechen. Glaubt man der Kontinuumshypothese, dann lässt sich jede unendliche Teilmenge von IR entweder eins zu eins auf IN (wenn sie »klein« ist) oder auf IR selbst abbilden (wenn sie »groß« ist).
Unendlich ist nicht immer gleich unendlich
Wie vergleicht man die Größen zweier unterschiedlicher Mengen
M1und M 2, die jeweils unendlich viele Elemente enthalten? Mathematiker nutzen dafür eine bestimmte Art von Abbildungen, so genannte Bijektionen, die jedem Element von M 1genau eines von M2zuordnen. Wenn es eine solche Bijektion gibt, heißen M 1und M 2gleichmächtig.
Eine unendliche Menge, die gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen IN = {0, 1, 2, 3, 4, ...} ist, heißt abzählbar. Es lässt sich leicht erkennen, dass die geraden Zahlena, Vielfache von 5 bund die ganzen Zahlen cabzählbar sind. Man kann zudem beweisen, dass es eine Bijektion zwischen den natürlichen und den rationalen Zahlen (Brüche p/q,wobei pund qganze Zahlen sind) gibt. Gleiches gilt für die Menge der Paare (p, q)ganzer Zahlen, Drillinge (u, v,w)rationaler Zahlen und so weiter.
Anders verhält es sich bei reellen Zahlen. Bereits der Bereich zwischen null und eins ist nicht abzählbar. Das lässt sich durch einen so genannten Widerspruchsbeweis zeigen, bei dem man mit der Annahme startet, das Intervall [0, 1] sei abzählbar, und daraus einen Widerspruch herleitet. Als logische Konsequenz muss die Annahme falsch sein, wodurch man bewiesen hat, dass es keine Bijektion zwischen den natürlichen Zahlen und [0, 1] geben kann.
Wäre das Intervall zwischen null und eins abzählbar, dann könnte man die darin enthaltenen Elemente einzeln aufzählen, was zu einer unendlichen (aber abzählbaren) Liste führen würde:
0,d1,1d1,2d1,3 d1,4 d1 ,5 d1 ,6 d1 ,6 ...
0,d2,1d2,2d2,3 d2,4 d2,5 d2,6 d2,6 ...
0,d3,1d3,2d3,3 d3,4 d3,5 d3,6 d3,6 ...
0,d4,1d4,2d4,3 d4,4 d4,5 d4,6 d4,6 ...
… wobeidi,jdie Ziffern der Dezimalentwicklung der i-tenZahl in der Liste sind (dabei schließt man Darstellungen aus, die mit unendlich vielen Neunen enden). Wenn man eine Zahl x= 0, d1 d2 d3d4… d2≠ d2,2, d3≠ d3,3, konstruiert, mit d1≠ d1,1, und so weiter, dann erscheint sie nirgends in der ursprünglichen Liste. Denn ihre n-teDezimalstelle unterscheidet sich immer von der n-tenDezimalstelle der n-tenZahl in der Liste. Der Wert von xist aber eine reelle Zahl zwischen null und eins, was bedeutet, dass die obige abzählbare Liste nicht existieren kann.
Das Intervall der reellen Zahlen zwischen null und eins ist also nicht abzählbar. Ihre Unendlichkeit ist daher von höherer Ordnung als die von der natürlichen Zahlen, man spricht von einer überabzählbaren Menge – der Unendlichkeit des Kontinuums. Daraus lässt sich leicht erkennen, dass das Intervall [0, 1] gleichmächtig ist wie das zwischen null und fünf: Sie haben die gleiche Unendlichkeit von Punktend. Überraschenderweise ist auch die Fläche eines Quadrats oder das Volumen eines Würfels gleichmächtig wie ein solches Liniensegment.
aDie Menge der geraden Zahlen ist abzählbar.
bDie Menge der durch fünf teilbaren Zahlen ist abzählbar.
cDie Menge der ganzen Zahlen ist abzählbar.
dDie Menge eines Liniensegments der Länge 1 ist gleichmächtig wie die Menge eines Liniensegments der Länge 5.
Eine oder viele mathematische Welten?
In der Philosophie der Mathematik gehen Realisten davon aus, die mathematische Welt sei real. Weil diese auf der Mengenlehre basiert, existieren demnach auch Mengen – insbesondere unendliche Mengen.
Dass die Kontinuumshypothese (KH) jedoch mit den üblichen Axiomen der Mengenlehre unentscheidbar ist, stellt Philosophen vor eine Herausforderung. Einige Realisten behaupten deshalb, das Universum der Mathematik existiere in vielen unterschiedlichen Formen: In einigen Fällen sei die Kontinuumshypothese wahr, in anderen falsch. Diese Ansicht einer »multiversen Mengenlehre« macht es überflüssig, nach einer definitiven Antwort auf die Kontinuumshypothese zu suchen.
Der Logiker Hugh Woodin konnte aber zeigen, dass es im Multiversum keinen zufrieden stellenden Wahrheitsbegriff gibt. Wie damals Kurt Gödel ist er ebenfalls der Ansicht, es existiere nur ein Mengenuniversum, dessen Axiome man noch finden muss. Das »ultimative L« könnte einen Weg dahin ebnen und dabei die Kontinuumshypothese ein für alle Mal lösen.
Die Vermutung zählt zu den bedeutendsten Fragen des Fachs. Bereits im Jahr 1900 setzte der deutsche Mathematiker David Hilbert sie an die Spitze seiner Liste von 23 Problemen, die er auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris vorstellte. Mehr als ein Jahrhundert später ist sie noch immer ungelöst: Bisher ist niemand auf eine unendliche Teilmenge von IR gestoßen, die man nicht IN oder IR zuordnen kann – aber ebenso wenig ließ sich nachweisen, dass eine solche Teilmenge nicht existiert.
Zwei Erkenntnisse des 20. Jahrhunderts erschweren die Aufgabe zusätzlich. Die damals entwickelte und bis heute größtenteils akzeptierte Version der Mengenlehre fußt auf Axiomen, die unter anderem die deutschen Logiker Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel formulierten. Dieses Axiomensystem wurde nach ihren Initialen ZFC benannt, wobei C für das Auswahlaxiom (englisch: axiom of choice) steht. Es besagt, dass für eine Sammlung nichtleerer, paarweiser disjunkter Mengen immer eine Menge existiert, die genau ein Element mit jeder der Mengen gemeinsam hat.
Für endliche Mengen lässt sich die Aussage einfach nachvollziehen, auf unendliche Mengen angewandt ist das Auswahlaxiom weniger intuitiv. Deshalb ist es unter manchen Experten umstritten und sie bevorzugen es, bloß mit dem System ZF ohne C zu arbeiten.
Aus den Axiomen der ZFC lässt sich die moderne Mathematik ableiten. Doch wie der österreichische Logiker Kurt Gödel in den 1930er Jahren herausfand, gibt es einige Aussagen, die sich in diesem Rahmen weder beweisen noch widerlegen lassen. Insbesondere hat er gezeigt, dass sich mit der Mengenlehre – vorausgesetzt sie ist nicht widersprüchlich – nicht beurteilen lässt, ob die Kontinuumshypothese (KH) falsch ist. Das heißt, es ist unmöglich, Nicht-KH (»Es gibt eine Unendlichkeit zwischen der von IN und IR«) aus den Axiomen der ZFC abzuleiten.
In der Hoffnung, die Kontinuumshypothese sei wahr, versuchten Wissenschaftler daraufhin, sie zu beweisen. 1963 wurden diese Anläufe jedoch zunichtegemacht, als der US-amerikanische Mathematiker Paul Cohen (1934– 2007) zeigte, dass man aus der Mengenlehre ebenso wenig KH (»Es gibt keine Unendlichkeit zwischen IN und IR«) folgern kann. Die Kontinuumshypothese ist also unabhängig von den ZFC-Axiomen und damit unentscheidbar.
Was ist wahr, was ist falsch?
Weil man nicht ermitteln kann, ob sie richtig oder falsch ist, könnte man entweder KH oder Nicht-KH als Axiom der Mengenlehre hinzufügen, ohne einen Widerspruch zu erzeugen. Die meisten Logiker halten allerdings nichts davon – denn es passt nicht zu ihrer Vorstellung, der zufolge es nur eine mathematische Realität gibt (siehe »Eine oder viele mathematische Welten?«).
Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz von 1931 verdeutlicht, warum Experten unentscheidbare Aussagen als Axiome ablehnen. Er besagt, mit einem aussagekräftigen Axiomensystem S (wie der Mengenlehre) ließe sich nicht beweisen, dass S konsistent ist. Das heißt, man könnte »S ist widersprüchlich« als Axiom zu S hinzufügen, ohne einen Widerspruch herbeizuführen. Das wäre natürlich absurd, aber nicht falsch.
Deswegen sind sich Mathematiker einig, ein Axiom müsse stets eine wahrnehmbare Eigenschaft widerspiegeln, die sich mit unserer Vorstellung über Mengen deckt. Anders ausgedrückt sollte es intuitiv sein, was viele Anwärter ausschließt, darunter KH und Nicht-KH: Anders als etwa die Aussage, es gebe eine leere Menge, ist nicht offensichtlich, ob die Kontinuumshypothese richtig oder falsch ist.
Manche Logiker sehen die Unentscheidbarkeit von KH als ein Zeichen dafür an, dass die ZFC-Axiome nicht ausreichen, um die Wirklichkeit vollständig zu beschreiben. Daher versuchen sie der gewöhnlichen Mengenlehre neue Axiome hinzuzufügen, aus denen eindeutig folgt, ob die Kontinuumshypothese wahr oder falsch ist. Die Schwierigkeit besteht darin, solche geeigneten Axiome zu finden. Diesem Problem ist Woodin auf der Spur – und die Lösung scheint zum Greifen nah.
Um seinen Ansatz nachzuvollziehen, muss man etwas tiefer in die Theorie der Unendlichkeiten eindringen. Den Grundstein bilden dabei so genannte Ordinalzahlen, die es ermöglichen, die Elemente einer – endlichen oder unendlichen – Menge in aufsteigender Reihenfolge anzugeben (siehe »Verallgemeinerte Zahlen«).
Verallgemeinerte Zahlen
Ordinalzahlen sind verallgemeinerte natürliche Zahlen. Sie bieten die Möglichkeit, mit Unendlichkeiten zu arbeiten und sie zu ordnen. Ordinalzahlen beginnen mit der geordneten Folge der natürlichen Zahlen, anschließend erscheint die erste unendlich große Ordinalzahl ω. Daraufhin definiert man ω + 1, ω + 2, was schließlich zu ω ? 2, ω ? 3 und so weiter führt. Die Grafik stellt die Objekte bildlich dar.
Seit ihrer Beschreibung durch Georg Cantor versuchen Mathematiker, diese seltsamen Strukturen zu verstehen. Insbesondere nutzen sie Ordinalzahlen α, um immer größere Mengen Vα zu definieren. Man kann zeigen, dass diese das gesamte Mengenuniversum V bilden, das jede beliebige Menge enthält.
Indem man die Definition von Vα verändert, lassen sich Unteruniversen der mathematischen Welt erzeugen. Diese sind kleiner als V, haben aber ähnliche grundlegende Eigenschaften. Mit einem solchen Unteruniversum L konnte Kurt Gödel Anfang des 20. Jahrhunderts beweisen, dass die gewöhnliche Mengenlehre mit der Kontinuumshypothese KH kompatibel ist. Paul Cohen bewies einige Jahrzehnte später jedoch, dass die ZFC-Axiome, auf denen die Mengenlehre fußt, auch mit Nicht-KH funktionieren.
Strukturen und relative Konsistenz
Wenn man an axiomatischen Systemen arbeitet, spielt der Vollständigkeitssatz, den Kurt Gödel 1929 in seiner Doktorarbeit bewies, eine entscheidende Rolle. Er besagt, dass eine durch logische Axiome definierte Theorie genau dann nicht widersprüchlich ist, wenn es mindestens eine Struktur gibt, die alle ihre Axiome erfüllt. Wenn man zum Beispiel die natürlichen Zahlen IN betrachtet, dann bestätigen sie die Aussage: »Für jedesxgibt es ein y,so dass x< y.«Daher ist dieses einfache Axiom nicht widersprüchlich.
Bei komplizierteren Systemen aus mehreren Axiomen ist es nicht so einfach, eine Struktur zu finden, die allen gleichzeitig gerecht wird. Für die gewöhnliche Mengenlehre greift man daher auf die Methode der so genannten relativen Konsistenz zurück: Man nimmt an, ein axiomatisches System S sei nicht widersprüchlich. Dann leitet man mit Hilfe des Vollständigkeitssatzes ab, dass es eine Struktur M gibt, die alle Axiome von S erfüllt. Anschließend modifiziert man M zu M’, wobei M’ ein weiteres Axiom X überprüft. Weil M’ existiert, ist das System S + Xkonsistent, solange S selbst zu keinen Widersprüchen führt. Diese Methode nutzten Kurt Gödel und Paul Cohen, um zu zeigen, dass sowohl ZFC + KH (Gödel, 1938) als auch ZFC + Nicht-KH (Cohen, 1963) widerspruchsfrei sind, falls ZFC konsistent ist.
Die Folge der Ordinalzahlen beginnt mit den natürlichen Zahlen. Man kann sie ausgehend von der leeren Menge ø konstruieren: 0 = ø, 1 = {ø}, 2 = {ø, {ø}}, ... ,n+ 1 = n∪ {n}. Das Symbol ∪ beschreibt dabei die Vereinigung zweier Mengen: {a, b}∪ {c, d}= {a, b,c,d}.Eine natürliche Zahl nsetzt sich in dieser Definition aus den ihr vorangehenden Zahlen von n– 1 bis 0 zusammen.
Ordinalzahlen hören nicht bei den natürlichen Zahlen auf. Die erste unendliche Ordinalzahl ω, transfinite Zahl genannt, ergibt sich, wenn man alle natürlichen Zahlen auf einmal betrachtet: ω = {0, 1, 2, ...}.
Daraus lassen sich noch größere Werte erzeugen, beispielsweise ω + 1 = ω ∪ {ω} oder ω + 2 = (ω + 1) ∪ {ω + 1}. Das führt irgendwann zu Produkten ω + ω = ω ? 2, ω ? 3, …, bis man schließlich Potenzen von ω erhält, darunter ω2, ω 3oder ω ω.
Man kann dabei zwischen zwei Arten von Ordinalzahlen unterscheiden: solche, die einen Vorgänger haben, dazu gehören etwa ω + 1 oder ω3+ 32, und jene, die keinen haben, wie ω, ω ? 2 oder ω 4. Letztere bezeichnet man als Grenzzahl.
Aus den Ordinalzahlen und der Potenzmengen-Operation kann man daher eine Folge wachsender Mengen definieren, die eine zentrale Rolle in der Mathematik spielen:
V0= ø ;
V1=P(V0) = {ø} ;
V2=P(V1) = {ø, {ø}} ;
…
Vα+1=P(Vα ), falls α + 1 den Vorgänger α hat;
Vβ= die Vereinigung aller V α , wobei α < β, falls β eine Grenzzahl ist.
Tatsächlich liegt jede Menge, die sich mit der ZFC definieren lässt, in einem Vα. Zum Beispiel sind die natürlichen Zahlen IN in V ωenthalten, während sich die Menge der reellen Zahlen IR in einer größeren befindet. Vereinigt man alle V α , erhält man das so genannte Mengenuniversum V, das der gesamten mengentheoretischen Welt entspricht. Interessanterweise besteht diese bloß aus der leeren Menge, verknüpft mit der Potenzmengen-Operation.
Um zu beweisen, dass man KH nicht mit den ZFC-Axiomen widerlegen kann, nutzte Gödel bestimmte Eigenschaften von V aus. Die zu Grunde liegende Idee lässt sich einfach nachvollziehen – wenn auch nicht in allen Details. Er begann mit der Annahme, die ZFC-Axiome seien nicht widersprüchlich. Seinem 1929 veröffentlichten Vollständigkeitssatz zufolge existiert in so einem Fall eine Struktur S, in welcher die Axiome erfüllt sind. Eine solche Struktur kann zum Beispiel ein Zahlenraum sein, in dem die Zahlen und Rechenregeln die entsprechenden Axiome widerspiegeln (siehe »Strukturen und relative Konsistenz«).
Von S ausgehend leitete Gödel eine weitere Struktur S’ ab, in der auch die Kontinuumshypothese realisiert ist. Wenn ZFC also nicht widersprüchlich ist, dann ist es ZFC + KH genauso wenig. Das bedeutet, man kann unmöglich aus den ZFC-Axiomen auf Nicht-KH schließen. Wäre das möglich, ließe sich Nicht-KH ebenso im System ZFC + KH ableiten, was einen Widerspruch erzeugen würde.
In seinem Beweis wählte Gödel das Mengenuniversum V als Struktur S, welche die ZFC-Axiome überprüft. Daraus konstruierte er eine Unterstruktur S’, die er L nannte und folgendermaßen definierte:
L0= ø ;
Lα+1=Pdef(L α),
Lβ= die Vereinigung aller L α , wobei α < β, falls β eine Grenzzahl ist.
Die Konstruktion ähnelt der von V stark. DochPdef(M) be- falls α + 1 den Vorgänger α hat;
zeichnet nicht die gewöhnliche Potenzmenge von M, sondern bloß die Menge aller »konstruierbaren Teilmengen«. Dazu zählen nur solche, die sich durch eine Formel definieren lassen. Die natürlichen Zahlen enthalten etwa die konstruierbare Teilmenge X, mit allen Elementenxaus IN, welche die Gleichung x+ y= 5 erfüllen, wobei yaus IN ist. In diesem Fall ist X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Mengen lassen sich aber nicht immer durch eine Formel beschreiben. Die natürlichen Zahlen besitzen zum Beispiel bloß abzählbar viele konstruierbare Teilmengen (weil es nur abzählbar viele entsprechende Formeln gibt). Weil ihre Potenzmenge aber überabzählbar ist, gibt es überabzählbar viele nicht definierbare Teilmengen von IN.
Verschiedene Universen unendlich großer Mengen
Die Vereinigung aller L α bildet das Universum der konstru- ierbaren Mengen L, das in V enthalten ist. In dieser Struktur sind alle ZFC-Axiome gültig. Zudem entpuppt sich die Kontinuumshypothese in L als wahr, wie Gödel zeigen konnte. Anschaulich lässt sich das erklären, weil L weniger Mengen enthält. Erst dadurch kann man beweisen, dass es keine Menge zwischen den natürlichen und den reellen Zahlen gibt. Ausgehend von V, in dem ZFC-Axiome gelten, existiert also eine Substruktur L, in der ZFC + KH verwirklicht sind. Deshalb kann ZFC + KH nicht widersprüchlich sein – vorausgesetzt die ZFC-Axiome sind konsistent.
Das legt den Gedanken nahe, dass das Mengenuniversum V, mit dem Mathematiker arbeiten, zu groß sein könnte. Im Prinzip kann man es einschränken, damit die Kontinuumshypothese gilt. Dafür muss man der gewöhnlichen Mengenlehre bloß ein simples Axiom hinzufügen: »Alle Mengen sind konstruierbar«, was durch V = Lbeschrieben wird. Alle nicht konstruierbaren Mengen, die sich durch die gewöhnliche Potenzmengen-Operation ergeben, wären dann nicht mehr zulässig.
Auf den ersten Blick wirkt V = Lwie das gesuchte Axiom, das die ZFC vervollständigen und die Unentscheidbarkeit der Kontinuumshypothese beseitigen würde. Dass sich jede Menge durch die ihr vorausgehenden Mengen definieren lässt, scheint intuitiv richtig. Aber leider ist V = Lals Axiom nicht tragbar, denn es verhindert unter anderem die Existenz bestimmter Unendlichkeiten.
Logiker streiten zwar darüber, wann man eine Behauptung als Axiom akzeptieren kann, doch bei einem Punkt sind sich die meisten einig: Wenn eine Aussage unendliche Mengen vorhersagt, ohne einen Widerspruch herbeizuführen, dann sollte man sie annehmen. Denn das Mengenuniversum sollte Mengen nicht in ihrer Größe einschränken.
Kurz erklärt: Große Kardinalzahlen
Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge – also quasi ihre Größe – entspricht der so genannten Kardinalzahl. Dieser Begriff lässt sich darüber hinaus auch auf unendliche Mengen erweitern.
Große Kardinalzahlen tauchen dagegen in der gewöhnlichen Mengenlehre nicht auf, das heißt, die ZFC-Axiome genügen nicht, um ihre Existenz zu beweisen. Deshalb fügt man sie künstlich durch zusätzliche Axiome zur Theorie hinzu.
Für Hugh Woodin sind diese Zahlen ebenso natürlich wie ganze Zahlen. Er ist davon überzeugt, dass sie niemals zu Widersprüchen führen werden. Weil große Kardinalzahlen konkrete Aussagen über natürliche Zahlen treffen, haben die Axiome handfeste Konsequenzen.
Seit den Anfängen der Mengenlehre formulieren Mathematiker solche Axiome. Am ältesten ist das Unendlichkeitsaxiom, das besagt, dass es eine unendliche Menge gibt (eine mögliche Version lautet: »Es existiert eine Menge, die sich mit einem ihrer eigenen Teile in Bijektion bringen lässt«). Darüber hinaus gibt es zahlreiche weitere Aussagen über »große Kardinalzahlen« (siehe »Kurz erklärt: Große Kardinalzahlen«), die verschiedene Arten extrem großer Mengen vorhersagen. Die ZFC-Axiome genügen dabei nicht, um zu beweisen, dass diese Mengen tatsächlich existieren. Daher muss man die entsprechenden Axiome der gewöhnlichen Mengenlehre hinzufügen.
Warum sollten sich große Kardinalzahlen ordnen lassen, wenn sie nicht real sind?
Als Mathematiker große Kardinalzahlen genauer untersuchten, machten sie eine unerwartete Entdeckung: Obwohl die Eigenschaften, die sie definieren, nicht direkt zusammenhängen und es prinzipiell möglich wäre, dass sich unterschiedliche große Kardinalzahlen nicht vergleichen lassen, geschieht das nie. Man kann bisher jede große Kardinalzahl danach ordnen, wie stark sie eine ZFC-Theorie erweitert.
Woodin und viele andere seiner Kollegen sehen das als Argument dafür, dass Mengen wirklich existieren: Warum sollten sich große Kardinalzahlen ordnen lassen, wenn sie nicht real sind? Deshalb hofften Forscher, eine große Kardinalzahl zu finden, die etwas über die Kontinuumshypothese aussagt. Doch das stellte sich als unmöglich heraus. Die Kontinuumshypothese ist unabhängig von den bisher definierten Axiomen über große Kardinalzahlen.
1961 kam dann der nächste Schlag: Der US-amerikanische Mathematiker und Informatiker Dana Scott bewies damals, dass die Aussage V = Leine bestimmte Art großer Kardinalzahlen verbietet, so genannte messbare Kardinalzahlen. Wenn man also wie Woodin an große Kardinalzahlen glaubt, dann muss V = Lfalsch sein.
Um einen Weg aus dieser verzwickten Lage zu finden, schraubten Logiker an der Definition von L. Ähnlich wie Gödel definierten sie Mengen Lα+1, die sich aus den vorher- gehenden L α ergeben, versuchten dabei jedoch L weniger einzuschränken. Dadurch sollte das Mengenuniversum größer ausfallen als das von Gödel betrachtete.
Und tatsächlich fand der US-amerikanische Logiker Robert Solovay 1976 ein passendes L, das messbare Kardinalzahlen zulässt. Aber leider widerspricht seine erarbeitete Version anderen großen Kardinalzahlen, die in der Hierarchie weiter oben stehen als die messbaren. In den folgenden Jahren versuchten Forscher daher L weiter zu vergrößern, allerdings ohne Erfolg. Es war stets mit bestimmten großen Kardinalzahlen unvereinbar. Die Situation schien festgefahren.
Mächtiges Forcing
Paul Cohen entwickelte die Methode des »Forcing«, um zu zeigen, dass Nicht-KH (die Negation der Kontinuumshypothese) mit der gewöhnlichen Mengenlehre kompatibel ist. Beim Forcing erweitert man das mengentheoretische Universum zu einem noch größeren und beweist, dass darin eine Aussage erfüllt oder widerlegt ist.
Die Technik erweist sich als extrem mächtig: Sie beweist darüber hinaus ebenfalls, dass KH mit der gewöhnlichen Mengenlehre zu keinerlei Widersprüchen führt. Aus dem Forcing folgt also, dass die Kontinuumshypothese mit den ZFC-Axiomen unentscheidbar ist.
Das Forcing lässt sich darüber hinaus auf andere wichtige mathematische Aussagen anwenden, etwa die so genannte Whitehead-Vermutung aus der Gruppentheorie, die Kaplansky-Vermutung aus der Analysis, die Suslin-Hypothese aus der Kombinatorik oder die Borel-Vermutung aus der Maßtheorie. Dabei stellt sich heraus, dass diese Probleme in der gewöhnlichen Mengenlehre ebenfalls unentscheidbar sind.
Deshalb möchten Forscher das ZFC-System um weitere Axiome ergänzen, die das Forcing außer Kraft setzen. Ein Axiom X macht das Forcing unwirksam, wenn man nicht mehr nachweisen kann, dass sowohl KH (oder eines der anderen genannten Probleme) als auch seine Negation mit ZFC+X kompatibel ist. Man braucht also ein X, das entscheidet, ob KH (oder eines der anderen Probleme) wahr ist.
Hugh Woodin fand heraus, dass V = ultimatives L mit den Axiomen der großen Kardinalzahlen kompatibel ist, während es gleichzeitig das Forcing unwirksam macht. In einer solchen neuen Mengenlehre wäre die Kontinuumshypothese wahr. Deshalb suchen Mathematiker nun ein »ultimatives L« und machten dabei in den letzten Jahren viel versprechende Fortschritte.
Das änderte sich im Jahr 2010, als Woodin ein spektakulärer Durchbruch gelang: Er bewies, dass Varianten von V = L, die superkompakte Kardinalzahlen zulassen, zwangsläufig mit allen anderen großen Kardinalzahlen kompatibel sind. Nun suchen Mathematiker nach einem solchen »ultimativen L«. Damit ließe sich zudem beweisen, dass die Kontinuumshypothese wahr ist. In den letzten Jahren entwickelten sie viel versprechende Ansätze, die zu diesem L führen könnten.
Das Axiom V = ultimatives L hätte zudem einen weiteren Vorteil. Wie Woodin 2015 zeigte, würde es das so genannte Forcing unwirksam machen (siehe »Mächtiges Forcing«). Dank dieser Methode konnte Cohen in den 1960er Jahren eine Struktur ableiten, die mit Nicht-KH und den ZFC-Axiomen kompatibel ist. Außerdem lässt sich durch das Forcing eine weitere Struktur bilden, die ZFC + KH erfüllt. Das Forcing allein kann also beweisen, dass die Kontinuumshypothese in der gewöhnlichen Mengenlehre unentscheidbar ist.
Doch es hat auch über die Mengenlehre hinaus weit reichende Auswirkungen. Zum Beispiel bedingt das Forcing, dass etliche Aussagen anderer Gebiete, von der Algebra bis hin zur Analysis, unentscheidbar sind.
Solche Unentscheidbarkeiten sind Woodin ein Dorn im Auge. Wie kann es sein, dass eine exakte Wissenschaft wie die Mathematik für so viele Aussagen nicht beurteilen kann, ob sie wahr oder falsch sind? Daher ist ein Axiom besonders willkommen, wenn es das Forcing unwirksam macht. V = ultimatives L besäße genau diese Eigenschaft. Es würde somit eine ganze Reihe unentscheidbarer Fragen in der ZFC-Theorie beantworten. Das motivierte Mathematiker umso mehr, ein ultimatives L zu suchen.
Momentan loten sie dazu mehrere viel versprechende Ansätze aus.
Es ist bemerkenswert, was Logiker im letzten Jahrzehnt erreicht haben. Ihre Ergebnisse verdeutlichen, dass Unendlichkeiten selbst nach mehr als 100 Jahren noch nicht verstanden sind – und man noch immer einiges von ihnen lernen kann. Mathematik besteht eben nicht nur darin, Beweise aus den bisher akzeptierten Axiomen herzuleiten oder zu erweitern. Stattdessen kann man das gesamte Fundament auf die Probe stellen, indem man zum Beispiel die bisherige Vorstellung von Unendlichkeit hinterfragt.
Woodin und einige Kollegen betonen immer wieder, der abstrakte Forschungsbereich bringe auch »spürbare« Konsequenzen mit sich – selbst wenn es auf den ersten Blick nicht immer so wirkt. Aussagen über große Kardinalzahlen lassen sich beispielsweise durch eine Folge von Symbolen ausdrücken, die sich in eine Äußerung über natürliche Zahlen übersetzen lässt. Je mehr Unendlichkeiten es gibt, desto mehr erfährt man daher über das uns vertraute Endliche.
QUELLEN
Cavitt, J.:Set-theoretic geology, the ultimate inner model, and new axioms. Harvard University, 2017
Heller, M., Woodin, H.:Infinity: New research frontiers. Cambridge University Press, 2011
Rittberg, C.:How Woodin changed his mind: New thoughts on the Continuum Hypothesis. Archive for History of Exact Sciences 69, 2015
Woodin, H.:In search of ultimate-L. Bulletin of Symbolic Logic 23, 2017
Woodin, H.:Strong axioms of infinity and the search for V. Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2010, World Scientific, 2011
